Đề khảo sát HSG Toán 12 - Bảng B - Năm học 2023-2024 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề khảo sát HSG Toán 12 - Bảng B - Năm học 2023-2024 (Có đáp án)

1. ĐỀ KHẢO SÁT ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI BẢNG B NĂM HỌC 2023 – 2024 Môn thi: Toán 12 Thời gian làm bài: 180 phút (đề gồm 02 trang) Câu 1 (2.0 điểm). a) Cho hàm số y x3 3x2 3(1 m)x 1 3m có đồ thị C và đường tròn T tâm m I 0;3 , bán kính bằng 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để C có hai điểm cực trị m và đường thẳng đi qua hai điểm cực trị đó cắt T tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất. 2x 1 b) Cho hàm số y có đồ thị (C) và đường thẳng d : y x m. Tìm tất cả các giá x 1 trị của tham số m để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến với (C) tại 1 1 A, B lần lượt có hệ số góc k1 , k2 thỏa mãn 288(k1 k2 ) 2023k1k2. k1 k2 Câu 2 (1.0 điểm). Cho các số thực dương x, y,z thỏa mãn log10 x . log10 yz log10 y log10 z 468 81 2 2 2 và xyz 10 . Tính giá trị của biểu thức S log10 x log10 y log10 z . 2 3 cos2 x sin 6x 2sin 4x.cos 2x 3 Câu 3 (1.0 điểm). Giải phương trình cos x . 3 tan x 1 Câu 4 (1,0 điểm). Tìm giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm x6 3x5 6 m x4 7 2m x3 6 m x2 3x 1 0 . Câu 5 (1,0 điểm). Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có 8 chữ số được lập từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 sao cho các chữ số 1 và 2 xuất hiện hai lần, các chữ số còn lại xuất hiện một lần. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc A. Tính xác suất để số được chọn có các chữ số giống nhau không đứng cạnh nhau. Câu 6 (2.0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAD là tam giác đều cạnh bằng 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD . 6 Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD là ; biết tan . 2 a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a . b) Gọi M là trung điểm của CD . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBM theo a .
2. Câu 7 (1,0 điểm) . Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông tại A và D có BC 2AB, M 4;0 là trung điểm của BC, đường thẳng AD có phương trình 2x y 1 0 . Tìm tọa độ các điểm B và C biết rằng hình thang ABCD có diện tích bằng 54 và các tọa độ của hai điểm A, B đều dương. 5 Câu 8 (1,0 điểm). Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a2 b2 c2 1. Chứng minh: a2 ab 1 b2 bc 1 c2 ca 1 5(a b c) a2 3ab c2 b2 3bc a2 c2 3ca b2 ------------Hết------------ (Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không cần giải thích gì thêm)