›
›
›

Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 12 - Phương pháp tọa độ trong không gian - Trường THPT Kiến Thụy

docx 35 trang Hải Bình 10/11/2025 60
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 12 - Phương pháp tọa độ trong không gian - Trường THPT Kiến Thụy", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.

File đính kèm:

  • docxchuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_toan_11_phuong_phap_toa_do.docx

Nội dung text: Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 12 - Phương pháp tọa độ trong không gian - Trường THPT Kiến Thụy

  1. CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Trường soạn: THPT Kiến Thụy SĐT TTCM: 0336000325 Trường phản biện: THPT Bạch Đằng SĐT TTCM: A : LÝ THUYẾT CƠ BẢN 1. Tọa độ vectơ 2. Tọa độ điểm Cho a (a ;a ;a ), b (b ;b ;b ), k ¡ Tọa độ vectơ : 1 2 3 1 2 3  Tổng hiệu vectơ: AB (xB xA; yB yA;zB zA ) Độ dài đoạn thẳng: a b (a1 b1; a2 b2; a3 b3) 2 2 2 Tích một vectơ với một số: AB (xB xA ) (yB yA ) (zB zA ) ka (ka1; ka2; ka3) Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: Hai vectơ bằng nhau: x x y y z z M A B ; A B ; A B a b 2 2 2 1 1 a b a2 b2 Tọa độ trọng tâm tam giác ABC: a b 3 3 x x x y y y z z z G A B C ; A B C ; A B C Các vectơ đặc biệt: 3 3 3 0 (0;0;0), i (1;0;0), j (0;1;0), k (0;0;1) Tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD: Hai vectơ cùng phương: xA xB xC xD x G 4 a cùng phương b(b 0) a kb (k R) yA yB yC yD yG 4 a kb z z z z 1 1 a a a z A B C D 1 2 3 G a2 kb2 , (b1, b2, b3 0) 4 b1 b2 b3 a3 kb3 3. Một số công thức mở rộng Tích vô hướng của hai vectơ: Khoảng cách: a.b a1.b1 a2.b2 a3.b3   Hệ quả: a  b a1b1 a2b2 a3b3 0 AM, AB d(M,AB) 2 2 2 AB Độ dài vectơ: a a1 a2 a3    Góc giữa hai vectơ: AB,CD .AC d(AB,CD)   AB,CD
  2. a.b a b a b a b Ax0 By0 Cz0 D cos(a, b) 1 1 2 2 3 3 d(M ,(P)) 2 2 2 a . b a2 a2 a2 . b2 b2 b2 A B C 1 2 3 1 2 3 (với a, b 0 ) Tích có hướng của hai vectơ: Góc:   a2 a3 a3 a1 a1 a2 AB.CD a,b ; ; cos(AB,CD)   b b b2 b3 b3 b1 1 2 AB . CD cos (P),(Q) cos nP ,nQ 1   Diện tích tam giác : S [AB, AC] ABC 2 Thể tích:    Khối hộp ABCD.A'B'C'D': V AB, AD .AA' 1    Khối tứ diện ABCD : V AB, AC .AD 6 1. Phương trình mặt cầu • Phương trình mặt cầu (tâm I(a;b;c) , bán kính R ) Dạng 1: x a 2 y – b 2 z – c 2 R2 Dạng 2: (dạng khai triển) x2 y2 z2 – 2ax – 2by – 2cz d 0 Điều kiện: a2 b2 c2 – d 0 Tâm I(a;b;c) , bán kính R a2 b2 c2 – d 2. Phương trình mặt phẳng Mặt phẳng đi qua điểm M (x0 ; y0 ;z0 ) , có vectơ pháp tuyến n (A;B;C) Công thức: A(x x0 ) B(y y0 ) C(z z0 ) 0 Dạng khai triển: Ax By Cz D 0 Đặc biệt: Mp(Oxy): z 0 Mp(Oxz): y 0 Mp(Oyz): x 0 Chú ý: Nếu a,b là hai vectơ không cùng phương, có giá song song hoặc nằm trên ( ) thì ta có VTPT của mặt phẳng ( ) là: n [a,b] PT mặt phẳng theo đoạn chắn (đi qua 3 điểm A a;0;0 , B 0;b;0 , C 0;0;c ):
  3. x y z : 1 a b c Khoảng cách từ điểm M x0 ; y0 ; z0 đến mặt phẳng α : Ax + By + Cz + D = 0 : Ax By Cz D d M; 0 0 0 A2 B2 C 2 Vị trí tương đối giữa hai mp(α) : A x + B y + C z + D = 0 và mp(β) : A x + B y + C z + D = 0 : 1 1 1 1 2 2 2 2 (A1; B1;C1) k(A2 ; B2 ;C2 ) ( ) P( ) D1 kD2 (A1; B1;C1) k(A2 ; B2 ;C2 ) ( )  ( ) D1 kD2 ( )  ( ) (A ; B ;C ) k(A ; B ;C ) 1 1 1 2 2 2 ( )  ( ) n1.n2 0 A1 A2 B1B2 C1C2 0 3. Phương trình đường thẳng Phương trình tham số của đường thẳng (đi qua điểm M (x0 ; y0 ;z0 ) , có vectơ chỉ phương u (a1;a2 ;a3 ) ) x x0 a1t : y y0 a2t (t R) z z0 a3t x x0 y y0 z z0 Dạng chính tắc : (khi a1a2a3 0 ) a1 a2 a3 Khoảng cách từ M đến đường thẳng :  MM , u 0 d M , . (với M 0 ) u x = x0 + a1t x = x0 + a1 t Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: Δ : y = y0 + a2t và Δ' : y = y0 + a2 t z = z0 + a3t z = z0 + a3 t  u,u .M1M 2 d 1, 2 . (với M1 1; M 2 2 ) u,u x = x0 + a1t x = x0 + a1 t Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: Δ : y = y0 + a2t và Δ' : y = y0 + a2 t z = z0 + a3t z = z0 + a3 t u ku + P M M u ku  M M x0 a1t x0 a1 t cắt khi hệ phương trình y0 a2t y0 a2 t có nghiệm duy nhất. z a t z a t 0 3 0 3
  4.  u.u 0 x0 a1t x0 a1 t chéo nhau với khi u ku và hệ phương trình y0 a2t y0 a2 t vô nghiệm. z0 a3t z0 a3 t x = x0 + a1t Vị trí tương đối giữa đường thẳng Δ : y = y0 + a2t và mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = 0 z = z0 + a3t Xét phương trình: A(x0 a1t) B(y0 a2t) C(z0 a3t) D 0 (*) + P( ) : (*) vô nghiệm + cắt ( ) : (*) có nghiệm duy nhất +  ( ) : (*) có vô số nghiệm B. VÍ DỤ ĐIỂN HÌNH: VD1: Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm A 3; 2;5 . Hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng tọa độ Oxz là A. M 3;0;5 . B. M 3; 2;0 . C. M 0; 2;5 . D. M 0;2;5 . Hướng dẫn giải Để tìm tọa độ hình chiếu của điểm A 3; 2;5 lên mặt phẳng Oxz ta chỉ cần giữ nguyên hoành độ và cao độ, cho tung độ bằng 0 . VD2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A 1;2;3 , B 2;4;2 và tọa độ trọng tâm G 0;2;1 . Khi đó, tọa độ điểm C là: A. C 1;0; 2 . B. C 1;0;2 . C. C 1; 4;4 . D. C 1;4;4 . Hướng dẫn giải xA xB xC 3xG 1 2 xC 0 xC 1 G là trọng tâm ABC yA yB yC 3yG 2 4 yC 6 yC 0 . zA zB zC 3zG 3 2 zC 3 zC 2 Vậy C 1;0; 2 . VD3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S : x 2 2 y 3 2 z 4 2 25 . Mặt phẳng Oxy cắt mặt cầu S có giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng: A. 21 . B. 3 . C. 6 . D. 8 . Hướng dẫn giải Mặt cầu S có tâm: I 2; 3; 4 , R 5. Gọi H là tâm đường tròn cắt nên H là hình chiếu của I. Vậy H 2; 3; 0 .
  5. Bán kính đường tròn: r R2 IH 2 52 42 3. x 1 t VD4: Cho điểm I(0;0;3) và đường thẳng d : y 2t . Phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt đường z 2 t thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông là: 2 8 2 2 A. x2 y2 z 3 . B. x2 y2 z 3 . 3 3 2 4 2 3 C. x2 y2 z 3 . D. x2 y2 z 3 . 3 2 Hướng dẫn giải  Gọi H 1 t;2t;2 t d là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d  IH 1 t;2t; 1 t   Ta có vectơ chỉ phương của d : ad 1;2;1 và IH  d   1 2 2 7 IH.ad 0 1 t 4t 1 t 0 2 6t 0 t H ; ; 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 3 IH 3 3 3 3  Vì tam giác IAB vuông tại I và IA IB R . Suy ra tam giác IAB vuông cân tại I , do đó bán kính: 2 2 3 2 6 R IA AB cos 450 2IH. 2IH 2. 2 3 3 2 8  Vậy phương trình mặt cầu S : x2 y2 z 3 . 3 x 3 t VD5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d1 : y 2 t , gọi d2 là giao tuyến của hai z 1 2t mặt phẳng P : x y 2z 0 và Q : x 2y z 3 0 . Viết phương trình mặt phẳng chứa d1 và song song với d2 . A. :19x 13y 3z 28 0 . B. :19x 13y 3z 80 0. C. :19x 13y 3z 80 0 . D. :19x 13y 3z 28 0 . Hướng dẫn giải   Đường thẳng d1,d2 có VTPT lần lượt là u1 1; 1;2 ,u2 5;8;3 . Mặt phẳng có VTPT là    n [u1,u2 ] 19; 13;3 . PTMP :19x 13y 3z 28 0 .
  6. VD6: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho các điểm A 1;0;0 , B 0;b;0 , C 0;0;c trong đó b,c dương và mặt phẳng P : y z 1 0 . Biết rằng mp ABC vuông góc với mp P và 1 d 0, ABC , mệnh đề nào sau đây đúng? 3 A. b 3c 1. B. 3b c 3 C. b c 1. D. 2b c 1. Hướng dẫn giải x y z 1 Ta có phương trình mp ABC là 1 b c 1 1 ABC  P 0 b c 1 b c 1 1 1 1 1 Ta có d O, ABC 8 2 3 1 1 3 b2 c2 1 b2 c2 1 Từ (1) và (2) b c b c 1. 2 VD7: Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua điểm M 1;2;2 , song song với mặt phẳng x 1 y 2 z 3 P : x y z 3 0 đồng thời cắt đường thẳng d : có phương trình là 1 1 1 x 1 t x 1 t x 1 t x 1 t A. y 2 t . B. y 2 t . C. y 2 t . D. y 2 t . z 3 z 3 t z 3 z 2 Hướng dẫn giải Gọi đường thẳng cần tìm là . Gọi I  d I d I 1 t;2 t;3 t .    MI t;t;1 t mà MI // P nên MI.n P 0 t t 1 t 0 t 1 MI 1; 1;0  Đường thẳng đi qua M 1;2;2 và I có véctơ chỉ phương là MI 1; 1;0 có phương trình x 1 t tham số là y 2 t . z 2 VD8: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng P :x y z 2 0 và hai đường thẳng x 1 t x 3 t d : y t ; d ': y 1 t . Biết rằng có 2 đường thẳng có các đặc điểm: song song với P ; z 2 2t z 1 2t cắt d, d và tạo với d góc 30O. Tính cosin góc tạo bởi hai đường thẳng đó. 2 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 3 2 5 2 Hướng dẫn giải
  7. Chọn B  Gọi là đường thẳng cần tìm, nP là VTPT của mặt phẳng P . Gọi M 1 t;t;2 2t là giao điểm của và d ; M 3 t ;1 t ;1 2t là giao điểm của và d  Ta có: MM 2 t t; 1 t t; 1 2t 2t M P  MM // P   t 2 MM 4 t; 1 t; 3 2t MM  nP   3 6t 9 t 4 Ta có cos30 cos MM ,ud 2 36t 2 108t 156 t 1 x 5 x t Vậy, có 2 đường thẳng thoả mãn là 1 : y 4 t ; 2 : y 1 z 10 t z t 1 Khi đó cos , . 1 2 2 C. BÀI TẬP: I. MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT: Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 2;0 và B 3;0;4 . Tọa độ của véctơ  AB là A. 4; 2; 4 . B. 4;2;4 . C. 1; 1;2 . D. 2; 2;4 . Hướng dẫn giải: Chọn B  AB 4;2;4 . Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M 3; 2;3 , I 1;0;4 . Tìm tọa độ điểm N sao cho I là trung điểm của đoạn MN. 7 A. N 0;1;2 . B. N 2; 1; . C. N 1;2;5 . D. N 5; 4;2 . 2 Hướng dẫn giải Chọn C Giả sử N (x; y; z) . Do I là trung điểm của MN nên x x x M N I 2 xN 2xI xM xN 1 yM yN yI yN 2yI yM yN 2 M ( 1;2;5) . 2 zN 2zI zM zN 5 zM zN zI 2
  8.  Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M thỏa mãn hệ thức OM 2 j k . Tọa độ của điểm M là: A. M 0;2;1 . B. M 1;2;0 . C. M 2;1;0 . D. M 2;0;1 . Hướng dẫn giải Chọn A  Vì OM 2 j k nên tọa độ điểm M là M 0;2;1 .   Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho OM 1;5;2 , ON 3;7; 4 . Gọi P là điểm đối xứng với M qua N . Tìm tọa độ điểm P . A. P 5;9; 3 . B. P 2;6; 1 . C. P 5;9; 10 . D. P 7;9; 10 . Hướng dẫn giải Chọn C   Ta có: OM 1;5;2 M 1;5;2 , ON 3;7; 4 N 3;7; 4 . Vì P là điểm đối xứng với M qua N nên N là trung điểm của MP nên ta suy ra được xP 2xN xM 5 yP 2yN yM 9 P 5;9; 10 zP 2zN zM 10  Câu 5: Trong không gian Oxyz cho 2 điểm A 1;2;3 , B x; y; z . Biết rằng AB 6;3;2 , khi đó x; y; z bằng A. 11;4;1 B. 7; 5; 5 C. 7;5;5 D. 5;1; 1 Hướng dẫn giải Chọn C  Ta có: AB 6;3;2 x 1; y 2; z 3 nên x; y; z 7;5;5 . Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng Oxy ? A. N 1;0;2 . B. P 0;1;2 . C. Q 0;0;2 . D. M 1;2;0 . Hướng dẫn giải Chọn D Phương trình mặt phẳng Oxy : z 0 . Kiểm tra tọa độ các điểm ta thấy D Oxy . Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình bình hành ABCD với A 1;1; 5 , B 2;1; 3 , C 0; 2;5 . Đỉnh D có tọa độ là A. 1; 2;3 . B. 1;2; 3 . C. 1;2;3 . D. 1; 2;3 . Hướng dẫn giải
  9. Chọn A A B D C   Gọi D x; y; z , ta có: BC 2; 3;8 ; AD x 1; y 1; z 5 . x 1 2 x 1   Vì ABCD hình bình hành nên BC AD y 1 3 y 2 . z 5 8 z 3 Vậy D 1; 2;3 . Câu 8: Trong không gian Oxyz , điểm N đối xứng với M 3; 1;2 qua trục Oy là A. N 3;1;2 B. N 3; 1; 2 C. N 3; 1; 2 D. N 3;1; 2 Hướng dẫn giải Chọn B Điểm đối xứng với điểm M 3; 1;2 qua trục Oy là N 3; 1; 2 . Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt cầu (S) tâm I 1;2; 3 và đi qua điểm A 1;0;4 có phương trình là A. x 1 2 y 2 2 z 3 2 53 . B. x 1 2 y 2 2 z 3 2 53. C. x 1 2 y 2 2 z 3 2 53 . D. x 1 2 y 2 2 z 3 2 53. Hướng dẫn giải Chọn A  Ta có IA 0; 2;7 . Suy ra bán kính R IA 53 . Vậy phương trình mặt cầu là: x 1 2 y 2 2 z 3 2 53 . Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm I 1;2; 4 và thể tích của khối cầu tương ứng bằng 36 . A. x 1 2 y 2 2 z 4 2 9. . B. x 1 2 y 2 2 z 4 2 3. C. x 1 2 y 2 2 z 4 2 9.. D. x 1 2 y 2 2 z 4 2 9.. Hướng dẫn giải Chọn C 4 Ta có V R3 36 R 3. 3
  10. Phương trình mặt cầu tâm I 1;2; 4 và bán kính R 3 là : x 1 2 y 2 2 z 4 2 9.. Câu 11: Mặt cầu S có tâm I 1;2;1 và tiếp xúc với mặt phẳng P : x 2y 2z 2 0 là. A. x 1 2 y 2 2 z 1 2 9 . B. x 1 2 y 2 2 z 1 2 3. x 1 2 y 2 2 z 1 2 9 x 1 2 y 2 2 z 1 2 3 C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn C 1 2 2 2.1 2 Vì S tiếp xúc với P nên ta có bán kính R d I, P 3. 12 2 2 2 2 Vậy phương trình đường tròn x 1 2 y 2 2 z 1 2 9 . Câu 12: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S) có tâm I 2;1; 1 và tiếp xúc với mp(P) có phương trình: 2x 2 y z 3 0 Bán kính của mặt cầu (S) là: 4 2 2 A. R . B. R 2 . C. R . D. R . 3 9 3 Hướng dẫn giải Chọn B 2.2 2.1 ( 1) 3 R d I; P 2 22 2 2 1 2 Câu 13: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , mặt cầu S : x 2 2 y 1 2 z2 4 có tâm I và bán kính R lần lượt là Nguyễn Tiến A. I 2;1;0 , R 4 . B. I 2;Tuấn 1;0 , R 4 . C. I 2; 1;0 , R 2 . D. I 2;1;0 , R 2 . Hướng dẫn giải Chọn D Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S có phương trình x2 y2 z2 2x 4y 6z 5 0 . Trong các số dưới đây, số nào là diện tích của mặt cầu S ? A. 36 . B. 36 . C. 12 . D. 9 . Hướng dẫn giải Chọn A Bán kính R 3 S 4 R2 36 . Câu 15: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x2 y2 z2 x 2y 1 0 . Tâm I và bán kính R của S là
  11. 1 1 1 1 A. I ;1;0 và R B. I ;1;0 và R 2 4 2 2 1 1 1 1 C. I ; 1;0 và R D. I ; 1;0 và R 2 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B Phương trình mặt cầu S có dạng x2 y2 z2 2ax 2by 2cz d 0 với 1 2a 1 a 2 2b 2 b 1 . 2c 0 c 0 d 1 d 1 2 1 2 2 2 1 2 1 Do đó S có tâm I ;1;0 và bán kính R a b c d 1 1 . 2 2 2 Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S : x2 y2 z2 2x 2y 4z m2 5 0 , với m là tham số thực. Tìm m sao cho mặt cầu S có bán kính R 3.. A. m 2 . B. m 2 3 . C. m 3 2 . D. m 2 2 . Hướng dẫn giải Chọn D Bán kính R 12 12 2 2 m2 5 3 1 m2 9 m 2 2 . Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . Hãy xác định tâm I của mặt cầu có phương trình: 2x2 2y2 2z2 8x 4y 12z 100 0 . A. I 4;2; 6 . B. I 2; 1;3 . C. I 2;1; 3 . D. I 4; 2;6 . Hướng dẫn giải Chọn C Mặt cầu có phương trình là x2 y2 z2 4x 2y 6z 50 0. x 2 2 y 1 2 z 3 2 82 , suy ra tâm của mặt cầu là I 2;1; 3 . Câu 18: Trong không gian Oxyz , tìm tất cả các giá trị của m để phương trình x2 y2 z2 4x 2y 2z m 0 là phương trình của một mặt cầu. A. m 6 . B. m 6 . C. m 6 . D. m 6 . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có x2 y2 z2 4x 2y 2z m 0 là phương trình của một mặt cầu
  12. a2 b2 c2 d 0 22 1 2 12 m 0 m 6 . Câu 19: Trong các phương trình sau, phương trình nào không phải là phương trình mặt cầu ? A. x2 y2 z2 1. B. x2 y2 z2 2x 2y 4z 11 0 . C. x2 y2 z2 2x 4y 4z 21 0 . D. 2x2 2y2 2z2 4x 4y 8z 11 0 . Hướng dẫn giải Chọn B Phương trình x2 y2 z2 2ax 2by 2cz d 0 là phương trình mặt cầu a2 b2 c2 d 0 . 11 Biến đổi 2x2 2y2 2z2 4x 4y 8z 11 0 x2 y2 z2 2x 2y 4z 0. 2 2 2 2 Từ đó ta thấy ngay phương trình x y z 2x 2y 4z 11 0 không là phương trình mặt cầu vì a2 b2 c2 d 12 12 2 2 11 0 . Câu 20: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm M 1;2;3 và N 1;2; 1 . Mặt cầu đường kính MN có phương trình là A. x2 y 2 2 z 1 2 5 . B. x2 y 2 2 z 1 2 5 . C. x2 y 2 2 z 1 2 20 . D. x2 y 2 2 z 1 2 20. Hướng dẫn giải Chọn B Mặt cầu đường kính MN có tâm I 0;2;1 là trung điểm MN và bán kính R IM 5 Do đó mặt cầu này có phương trình x2 y 2 2 z 1 2 5 . Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S : x2 y2 z2 2y 0 và mặt phẳng P : 2x 2y z 0. Bán kính đường tròn giao tuyến của P và S là. 2 1 5 A. . B. . 1 D. . 3 3 C. . 3 Hướng dẫn giải Chọn D Mặt cầu S có tâm I 0;1;0 và bán kính R 1. 2 Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng P : h d I, P . 3 5 Bán kính đường tròn giao tuyến của P và S là r R2 h2 . 3 Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P :3x 2y z 1 0. Mặt phẳng P có vectơ pháp tuyến là.
  13. A. n 2;3; 1 . B. n 3;2; 1 . C. n 1;3;2 . D. n 3; 1;2 . Hướng dẫn giải Chọn B Nếu P : ax by cz d 0 thì P có VTPT là n a;b;c (hoặc là một vecto cùng phương với n ). Câu 23: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxyz, vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng Oyz là: r r r r A. n 1; 0; 0 . B. n 0; 1; 0 . C. n 0; 0; 1 . D. n 1; 0; 1 . Hướng dẫn giải Chọn A Câu 24: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng nào sau đây nhận n 1;2;3 làm vectơ pháp tuyến? A. 2x 4y 6z 1 0 . B. 2z 4z 6 0 . C. x 2y 3z 1 0 . D. x 2y 3z 1 0 . Hướng dẫn giải Chọn A  Mặt phẳng 2x 4y 6z 1 0 nhận vectơ n 2;4;6 hay vectơ n1 1;2;3 làm vectơ pháp tuyến. Câu 25: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , điểm nào sau đây không thuộc mặt phẳng P :x y z 1 0 . A. I 1;0;0 . B. O 0;0;0 . C. K 0;0;1 . D. J 0;1;0 . Hướng dẫn giải Chọn B Với O 0;0;0 , thay vào P ta được: 1 0 . Câu 26: Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng (P): 2x - 3y + z - 4 = 0; (Q): 5x - 3y - 2z - 7 = 0. Vị trí tương đối của (P) và (Q) là. A. Cắt nhưng không vuông góc. B. Vuông góc. C. Song song. D. Trùng nhau. Hướng dẫn giải Chọn A ur ur ur ur n(P) = (2;- 3;1);n(Q) = (5;- 3;- 2)Þ n(P) ¹ k.n(Q) (k ¹ 0).
  14. ur ur n P .n Q ¹ 0. Vậy vị trí tương đối của P & Q là cắt nhưng không vuông góc. ( ) ( ) ( ) ( ) Câu 27: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào sau đây không là phương trình mặt phẳng: A. x2 + y2 + z2 = 4 B. y + z = 4 C. x + y = 4 D. x + y + z = 4 Hướng dẫn giải Chọn A Ta có x2 + y2 + z2 = 4 là phương trình mặt cầu tâm O 0; 0; 0 bán kính R 2 . Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào được cho dưới đây là phương trình mặt phẳng Oyz ? A. x y z B. y z 0 C. y z 0 D. x 0 Hướng dẫn giải Chọn D Mặt phẳng Oyz đi qua O 0;0;0 và nhận n 1;0;0 làm vec tơ pháp tuyến. Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng (P) : x my 3z 2 0 và mặt phẳng (Q) : nx y z 7 0 song song với nhau khi. 1 1 1 A. m 3; n . B. m 3; n . C. m 2; n . D. m n 1. 2 3 3 Hướng dẫn giải Chọn B m 0, n 0 m 3 Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) khi 1 m 3 2 1 . n n 1 1 7 3 Câu 30: Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng P : x 3y 2z 1 0 , Q : 2m 1 x m 1 2m y 2m 4 z 14 0 . Tìm m để P và Q vuông góc nhau. 3 3 3 A. m 1;  . B. m 2 . C. m 1; . D. m . 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn C  Mặt phẳng P : x 3y 2z 1 0 có một VTPT là n1 1; 3; 2 . Mặt phẳng Q : 2m 1 x m 1 2m y 2m 4 z 14 0 có một VTPT là  2 n2 2m 1; m 2m ; 2m 4 .
  15.   2 P  Q n1.n2 0 2m 1 3 m 2m 4m 8 0 m 1 . 2 6m 3m 9 0 3 m 2 Câu 31: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1; 1; 1 , B 1; 3; 5 . Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB . A. y 2z 6 0 . B. y 2z 2 0 . C. y 3z 8 0 . D. y 3z 4 0 . Hướng dẫn giải Chọn C  AB 0; 2; 6 , trung điểm của AB là M 1; 2; 2 .Mặt phẳng cần tìm là y 3z 8 0 . Câu 32: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S : x2 y2 z2 2x 4y 4z 0 . Mặt phẳng tiếp xúc với S tại điểm A 3;4;3 có phương trình. A. 2x 2y z 17 0 . B. 4x 4y 2z 17 0 . C. x y z 17 0 . D. 2x 4y z 17 0 . Hướng dẫn giải Chọn A  Mặt cầu S có tâm I 1;2;2 , vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng P là IA 2;2;1 nên phương trình của P là 2x 2y z 17 0.. x 1 y 2 z 1 Câu 33: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d : . Trong các mặt phẳng dưới đây, 2 1 1 tìm một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng d A. 2x 2y 2z 4 0. B. 4x 2y 2z 4 0 . C. 4x 2y 2z 4 0. D. 4x 2y 2z 4 0 . Hướng dẫn giải Chọn C Đường thẳng d có vec tơ chỉ phương là u 2; 1;1 . Mặt phẳng 4x 2y 2z 4 0 có vectơ pháp tuyến n 4; 2;2 . 2 1 1 Ta có nên u cùng phương với n do đó đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng 4 2 2 4x 2y 2z 4 0.
  16. x 0 Câu 34: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : y t . Vectơ nào dưới đây là vecto z 2 t chỉ phương của đường thẳng d ? A. u 1; 0; 1 . B. u 0; 0; 2 . C. u 0; 1; 2 . D. u 0; 1; 1 . Hướng dẫn giải Chọn D Dễ thấy vectơ chỉ phương của d là u 0; 1; 1 . Câu 35: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng P :2x y z 3 0 và điểm A 1; 2;1 . Phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với P là: x 2 t x 1 2t x 1 2t x 1 2t A. : y 1 2t . B. : y 2 2t . C. : y 2 t . D. : y 2 4t . z 1 t z 1 2t z 1 t z 1 3t Hướng dẫn giải Chọn C x 1 2t qua A 1; 2;1 Đường thẳng :  : y 2 t . VTCP n P 2; 1;1 z 1 t x 2 y 1 z 3 Câu 36: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d : . Điểm nào sau đây không thuộc 3 1 2 đường thẳng d ? A. Q 1;0; 5 B. M 2;1;3 C. N 2; 1; 3 D. P 5; 2; 1 Hướng dẫn giải Chọn B Nhận xét N, P,Q thuộc đường thẳng d . Tọa độ điểm M không thuộc đường thẳng d . Câu 37: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với A 1;1;1 ; B 1;1;0 ; C 1;3;2 . Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC nhận vectơ a nào dưới đây là một vectơ chỉ phương? A. a 1;1;0 . B. a 2;2;2 . C. a 1;2;1 . D. a 1;1;0 . Hướng dẫn giải Chọn A Trung điểm BC có tọa độ I 0;2;1 nên trung tuyến từ A có một vectơ chỉ phương là  AI 1;1;0 .
  17. Câu 38: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P vuông góc với đường thẳng d có x 1 y z 1 phương trình , tìm vectơ pháp tuyến n của mặt phẳng P là. 2 1 2 A. n 1;0; 1 . B. n 2; 1; 2 . C. n 1;2;2 . D. n 2;1;2 . Hướng dẫn giải Chọn D Véctơ chỉ phương của đường thẳng d là: n 2;1;2 . Vì mặt phẳng P vuông góc với đường thẳng d nên mặt phẳng P có véctơ pháp tuyến là: n 2;1;2 . Câu 39:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M 2; 3;1 và mặt phẳng : x 3y z 2 0 . Đường thẳng d qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng có phương trình là x 2 t x 1 2t x 2 t x 2 t A. d : y 3 3t . B. d : y 3 3t . C. d : y 3 3t . D. d : y 3 3t . z 1 t z 1 t z 1 t z 1 t Hướng dẫn giải Chọn D x 2 t d qua điểm M 2; 3;1 nhận n 1;3; 1 là vtcp nên d có dạng d : y 3 3t . z 1 t x 1 2t Câu 40:Cho đường thẳng d có phương trình tham số y 2 t . Viết phương trình chính tắc của đường z 3 t thẳng d . x 1 y 2 z 3 x 1 y 2 z 3 A. d : . B. d : . 2 1 1 2 1 1 x 1 y 2 z 3 x 1 y 2 z 3 C. d : . D. d : . 2 1 1 2 1 1 Hướng dẫn giải Chọn B Từ phương trình tham số ta thấy đường thẳng d đi qua điểm tọa độ 1;2; 3 và có VTCP u 2; 1;1 . x 1 y 2 z 3 Suy ra phương trình chính tắc của d là: .. 2 1 1 II. MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU: Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A 1;2;0 , B 1;0;1 ,C 0;2; 1 . Tính độ dài của vectơ   AB 2AC . A. 21 . B. 21 . C. 13 . D. 13. Lời giải
  18. Chọn C     Ta có AB 2; 2;1 , AC 1;0; 1 , AB 2AC 0; 2;3 .     2 Khi đó độ dài của vectơ AB 2AC là: AB 2AC 02 2 32 13 . Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 1; 1;1 , B 3;2; 2 ,C 3;1;5 . Tìm    9 3 27 tọa độ điểm M x; y; z thỏa mãn MA 2AB 4CM . Khi đó tổng S bằng x y z A. 6 . B. 15 . C. 16 . D. 13 . Lời giải Chọn D 1 x 2.2 4 x 3 x 3    3 Ta có MA 2AB 4CM 1 y 2.3 4 y 1 y . 5 1 z 2. 3 4 z 5 27 z 5 9 3.5 27.5 Khi đó S 13. 3 3 27 Câu 3: Trong không gian Oxyz, điểm đối xứng của A 1;2;3 qua mặt phẳng Oyz là điểm nào dưới đây A. Q 1;2;3 . B. N 1; 2;3 . C. P 1;2; 3 . D. M 1; 2; 3 . Lời giải Chọn A Nếu H là hình chiếu của A 1;2;3 lên Oyz thì H 0;2;3 .Gọi A' là điểm đối xứng của A 1;2;3 qua mặt phẳng Oyz thì H 0;2;3 là trung điểm của AA' . Do đó, ta có xA' 2xH xA xA' 2.0 1 xA' 1 yA' 2yH yA yA' 2.2 2 yA' 2 A' 1;2;3  Q 1;2;3 . zA' 2zH zA zA' 2.3 3 zA' 3 Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A 3; 4;0 , B 1;1;3 , C 3,1,0 . Tìm tọa độ điểm D trên trục hoành sao cho AD BC . A. D 2;1;0 , D 4;0;0 B. D 0;0;0 , D 6;0;0 C. D 6;0;0 , D 12;0;0 D. D 0;0;0 , D 6;0;0 Lời giải Chọn D 2 x 0 Gọi D x;0;0 Ox ; AD BC x 3 16 5 . x 6
  19. Câu 5: Trong không gian Oxyz, cho các vectơ a 5 ; 3 ; 1 , b 1 ; 2 ; 1 , c m ; 3 ; 1 .Tìm tất cả giá trị của m sao cho a b,c là A. m 1. B. m 2 . C. m 1. D. m 2 . Lời giải Chọn B Ta có b,c 5 ; m 1 ; 3 2m . 5 5 a b,c 3 m 1 m 2. 1 3 2m Câu 6: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S) : x2 y2 z2 2x 2z 7 0 . bán kính của mặt cầu đã cho bằng A. 7 . B. 9 . C. 3 . D. 15 . Lời giải Chọn C Ta có: (S) : x2 y2 z2 2x 2z 7 0 x 1 2 y2 z 1 2 9 x 1 2 y2 z 1 2 32 Suy ra bán kính của mặt cầu đã cho bằng R 3. Câu 7: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x2 y2 z2 2x 2y 7 0. Bán kính của mặt cầu đã cho bằng A. 3 . B. 9 . C. 15 . D. 7 . Lời giải Chọn A Ta có S : x2 y2 z2 2x 2y 7 0 x 1 2 y 1 2 z2 9 . Vậy bán kính của mặt cầu bằng 3 . Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M 1; 2; 3 . Gọi I là hình chiếu vuông góc của M trên trục Ox . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm I bán kính IM ? 2 2 A. x 1 y2 z2 13 B. x 1 y2 z2 13
  20. 2 2 C. x 1 y2 z2 13 D. x 1 y2 z2 17 Lời giải Chọn A Hình chiếu vuông góc của M trên trục Ox là I 1;0;0 IM 13 .Suy ra phương trình mặt 2 cầu tâm I bán kính IM là: x 1 y2 z2 13 . Câu 9: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , tìm tất cả các giá trị của m để phương trình x2 y2 z2 2x 2y 4z m 0 là phương trình của một mặt cầu. A. m 6 B. m 6 C. m 6 D. m 6 Lời giải Chọn D Phương trình x2 y2 z2 2x 2y 4z m 0 là một phương trình mặt cầu 12 12 22 m 0 m 6 . Câu 10: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm I 1;1;1 và A 1; 2;3 . Phương trình của mặt cầu có tâm I và đi qua điểm A là A. x 1 2 y 1 2 z 1 2 29 . B. x 1 2 y 1 2 z 1 2 5 . C. x 1 2 y 1 2 z 1 2 25 . D. x 1 2 y 1 2 z 1 2 5 . Lời giải Chọn B Mặt cầu có bán kính R IA 0 1 4 5 . Suy ra phương trình mặt cầu là x 1 2 y 1 2 z 1 2 5 . Câu 11: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 2;0;0 , B 0; 3;0 , C 0;0;6 . Tọa độ một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ABC là A. n 2; 3;6 . B. n 1; 2;3 . C. n 3; 2;1 . D. n 3;2;1 . Lời giải Chọn C x y z Phương trình mặt phẳng ABC theo đoạn chắn là 1 3x 2y z 6 0 2 3 6 Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ABC là n 3; 2;1