›
›
›

Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 12 - Nguyên hàm. Tích phân và ứng dụng - Trường THPT Tiên Lãng

docx 89 trang Hải Bình 10/11/2025 60
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 12 - Nguyên hàm. Tích phân và ứng dụng - Trường THPT Tiên Lãng", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.

File đính kèm:

  • docxchuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_toan_12_nguyen_ham_tich_ph.docx

Nội dung text: Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 12 - Nguyên hàm. Tích phân và ứng dụng - Trường THPT Tiên Lãng

  1. Chuyên đề : NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Trường soạn: THPT TIÊN LÃNG SĐT TTCM: 0904952606 Trường phản biện: THPT TOÀN THẮNG SĐT TTCM: 0972742624 CHỦ ĐỀ 1: NGUYÊN HÀM A. LÝ THUYẾT CƠ BẢN 1. Khái niệm nguyên hàm:  Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếu F '(x) f (x) với mọi x thuộc K.  Họ tất cả các nguyên hàm của của hàm số f trên K. Kí hiệu: f (x)dx F(x) C Chú ý: Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. . 2. Tính chất Nếu f , g là hai hàm số liên tục trên K thì: * f (x)dx ' f x và f ' x dx f x C *  f (x) g(x)dx f (x)dx g(x)dx * Với mọi số thực k 0 ta có k. f (x)dx k f (x)dx 3.Công thức đổi biến số : f u(x)u '(x)dx F u x C 4. Công thức nguyên hàm tùng phần: udv u.v vdu 5. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp Nguyên hàm của hàm số Nguyên hàm Nguyên hàm của hàm mở rộng hợp u u(x) du u '(x).dx  0.dx C  dx 1.dx x C  du u C n+1 1 n+1 n x 1 ax b n u  x .dx C (n 1)  ax b dx  C, 1  u .du C (n 1) n 1 a 1 n 1 dx 1 1 du  ln | x | C  dx .ln ax b C  ln | u | C x ax b a u 1  exdx ex C  eax bdx eax b C  eudu eu C a a x 1 amx n au  a xdx C  amx ndx  C  audu C ln a m ln a ln a 1  sin x.dx cos x C  cos ax b dx sin ax b C  sin u.du cosu C a 1  cos x.dx sin x C  sin ax b dx cos ax b C  cosu.du sin u C a dx 1 1 du  tan x C  dx tan ax b C  tan u C cos2 x cos2 ax b a cos2 u dx 1 1 du  cot x C  dx cot ax b C  cot u C sin2 x sin2 ax b a sin2 u
  2. 1  tan xdx ln cos x C  tan ax b dx ln cos ax b C a 1  cot xdx ln sin x C  cot ax b dx ln sin ax b C a 1  tan2 x dx tan x x C  tan2 ax b dx tan ax b x C a 1  cot2 x dx cot x x C  cot2 ax b dx cot ax b x C a 1 x  dx ln tan C sin x 2 1 x  dx ln tan C cosx 2 4  ln x dx x ln x x C ❖ Một số nguyên tắc tính nguyên hàm cơ bản • Tích của đa thức hoặc lũy thừa PP khai triển. • Tích các hàm mũ PP khai triển theo công thức mũ. 1 1 1 1 • Bậc chẵn của sin hoặc cos PP hạ bậc: sin2 a cos 2a; cos2 a cos 2a 2 2 2 2 • Chứa tích các căn thức của x PP chuyển về lũy thừa ❖ Phương pháp đổi biến số Nếu f (x)dx F(x) C thì f u(x)u '(x)dx F u x C Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm I f (x)dx , trong đó ta có thể phân tích hàm số đã cho f x g u(x)u '(x) thì ta thực hiện phép đổi biến đặt t u(x) dt u ' x dx .Khi đó, ta thấy I g(t)dt G t C G u x C • Chú ý: Sau khi ta tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay t u(x) . P x ❖ Phương pháp tính nguyên hàm, tích phân của hàm số hữu tỷ I dx Q x • Nếu bậc của tử số P x bậc của mẫu số Q x PP Chia đa thức. • Nếu bậc của tử số P x bậc của mẫu số Q x PP phân tích mẫu Q x thành tích số, rồi sử dụng phương pháp chia để đưa về công thức nguyên hàm số. • Nếu mẫu không phân tích được thành tích số PP thêm bớt để đổi biến hoặc lượng giác hóa bằng cách đặt x a tan t , nếu mẫu đưa được về dạng x 2 a 2 . ❖ Nguyên hàm từng phần • Cho hai hàm số u và v liên tục trên a;b và có đạo hàm liên tục trên a;b . Khi đó ta có được udv u.v vdu • Để tính nguyên hàm udv u.v vdu bằng phương pháp từng phần ta làm như sau: • Bước 1: Chọn u , v sao cho f x dx udv (Chú ý: dv v 'dx ) ▪ Tính v v 'dx và du u 'dx ▪ Bước 2: Thay vào công thức (*) và tính vdu . ▪ Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và nguyên hàm vdu dễ tính hơn
  3. udv . ➢ Mẹo nhớ: “Nhất lô, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” B. VÍ DỤ ĐIỂN HÌNH 1 Câu 1. Tìm họ nguyên hàm của hàm số y x2 3x . 2x 1 x3 3x 1 x3 3x 1 A. ln 2x 1 C,C R B. ln 2x 1 C,C R 3 ln 3 2 3 ln 3 2 x3 1 x3 3x 1 C. 3x C,C R D. C,C R 3 2x 1 2 3 ln 3 2x 1 2 Lời giải Chọn B 3 x 2 x 1 x 3 1 Ta có: x 3 dx ln 2x 1 C, C R . 2x 1 3 ln 3 2 Câu 2. Họ nguyên hàm của hàm số y 3x x cos x là A. x3 3 xsin x cos x C B. x3 3 xsin x cos x C C. x3 3 xsin x cos x C D. x3 3 xsin x cos x C Lời giải Chọn A Ta có: 3x x cos x dx 3x2dx 3x cos xdx 1 Câu 3. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x . 2 2x 1 1 A. f x dx 2x 1 C . B. f x dx 2x 1 C . 2 1 C. f x dx 2 2x 1 C . D. f x dx C . 2x 1 2x 1 Lời giải Chọn A Đặt 2x 1 t 2x 1 t 2 dx tdt . 1 1 tdt 1 1 1 Khi đó ta có 2x 1dx dt t C 2x 1 C . 2 2 t 2 2 2 Câu 4. Tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số f x 3x2 1 .ln x . x3 x3 A. f x dx x x2 1 ln x C . B. f x dx x3 ln x C . 3 3 x3 x3 C. f x dx x x2 1 ln x x C . D. f x dx x3 ln x x C . 3 3 Lời giải Chọn C Ta có I 3x2 1 ln xdx 1 u ln x du dx Đặt x . dv 3x2 1 dx v 3x2 1 dx x3 x
  4. 1 x3 I x3 x ln x x3 x dx x x2 1 ln x x2 1 dx x x2 1 ln x x C . x 3 4x 11 Câu 5. Cho biết dx a ln x 2 bln x 3 C . Tính giá trị biểu thức: P a2 ab b2 . x2 5x 6 A. 12. B. 13. C. 14. D. 15. Lời giải Chọn B 4x 11 A B A x 3 B x 2 A B x 3A 2B Ta có: x2 5x 6 x 2 x 3 x 2 x 3 x 2 x 3 A B 4 A 3 . 3A 2B 11 B 1 4x 11 3 1 Khi đó: dx dx 3ln x 2 ln x 3 C . 2 x 5x 6 x 2 x 3 Suy ra a 3; b 1 nên P a2 ab b2 13. 1 Câu 6. Cho F x là nguyên hàm của hàm số f x và F 0 ln 2e . Tập nghiệm S của ex 1 phương trình F x ln ex 1 2 là: A. S 3 B. S 2;3 C. S 2;3 D. S 3;3 Lời giải Chọn A. dx ex Ta có F x f x dx 1 dx x ln ex 1 C x x e 1 e 1 F 0 ln 2 C ln 2e C 1 PT : F x ln ex 1 2 x ln ex 1 1 ln ex 1 2 x 3 . Câu 7. Biết F x ex 2x2 là một nguyên hàm của hàm số f x trên ¡ . Khi đó f 2x dx bằng 1 1 A. 2ex 4x2 C. B. e2x 4x2 C. C. e2x 8x2 C. D. e2x 2x2 C. 2 2 Lời giải Chọn B Ta có: F x ex 2x2 là một nguyên hàm của hàm số f x trên ¡ Suy ra: f x F x ex 2x2 ex 4x f 2x e2x 8x 1 f 2x dx e2x 8x dx e2x 4x2 C. 2 1 Câu 8. Cho hàm số f x xác định trên ¡ \ 2;1 thỏa mãn f x , f 3 f 3 0 và x2 x 2 1 f 0 . Giá trị của biểu thức f 4 f 1 f 4 bằng 3 1 1 1 4 1 8 A. ln 2 . B. ln80 1. C. ln ln 2 1. D. ln 1. 3 3 3 5 3 5 Lời giải Chọn A
  5. 1 x 1 ln C ,x ; 2 3 x 2 1 1 1 x 1 1 1 x f x dx ln C ln C ,x 2;1 . 2 2 x x 2 3 x 2 3 x 2 1 x 1 ln C3 ,x 1; 3 x 2 1 1 1 Ta có f 3 ln 4 C ,x ;2 , f 0 ln C ,x 2;1 , 3 1 3 2 2 1 2 f 3 ln C ,x 1; , 3 5 3 1 1 1 Theo giả thiết ta có f 0 C 1 ln 2 . f 1 . 3 2 3 3 1 1 2 1 1 Và f 3 f 3 0 ln 4 C ln C 0 C C ln . 3 1 3 5 3 1 3 3 10 Vậy 1 5 1 1 1 1 1 f 4 f 1 f 4 ln C1 ln C3 ln 5 C1 C3 3 2 3 3 2 3 3 1 1 1 1 1 1 ln 5 ln ln 2 3 3 3 10 3 3 x Câu 9. Cho hàm số f (x) . Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số g(x) (x 1) f '(x) x2 1 x2 2x 1 x 1 2x2 x 1 x 1 A. C . B. C . C. C . D. C . 2 x2 1 x2 1 x2 1 x2 1 Lời giải Chọn D u x 1 du dx Xét g(x)dx (x 1) f '(x)dx . Đặt dv f '(x)dx v f (x) (x 1)x x Vậy g(x)dx (x 1) f (x) f (x)dx g(x)dx dx 2 2 x 1 x 1 (x 1)x x2 x x2 1 g(x)dx x2 1 C g(x)dx C 2 2 x 1 x 1 x 1 g(x)dx C. 2 x 1 Câu 10. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ \ 1;0 thỏa mãn điều kiện: f 1 2ln 2 và x. x 1 . f x f x x2 x . Biết f 2 a b.ln 3 ( a , b ¤ ). Giá trị 2 a2 b2 là 27 3 9 A. . B. 9. C. . D. . 4 4 2 Lời giải Chọn B 2 Chia cả hai vế của biểu thức x. x 1 . f x f x x2 x cho x 1 ta có x 1 x x x . f x f x . f x 2 . x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
  6. x x x 1 Vậy . f x . f x dx dx 1 dx x ln x 1 C . x 1 x 1 x 1 x 1 1 Do f 1 2ln 2 nên ta có . f 1 1 ln 2 C ln 2 1 ln 2 C C 1. 2 x 1 Khi đó f x x ln x 1 1 . x 3 3 3 3 3 3 Vậy ta có f 2 2 ln 3 1 1 ln 3 ln 3 a , b . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 Suy ra 2 a b 2 9 . 2 2 C. BÀI TẬP MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT- THÔNG HIỂU Câu 1. Hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên khoảng K nếu A. F '(x) f (x),x K. B. f '(x) F(x),x K. C. F '(x) f (x),x K. D. f '(x) F(x),x K. 5x4dx Câu 2. bằng 1 A. x5 C . B. x5 C . C. 5x5 C . D. 20x3 C . 5 Câu 3. Nguyên hàm của hàm số f x x4 x2 là 1 1 A. x5 x3 C B. x4 x2 C C. x5 x3 C . D. 4x3 2x C 5 3 Câu 4. Họ nguyên hàm của hàm số f x cos x 6x là A. sin x 3x2 C . B. sin x 3x2 C . C. sin x 6x2 C . D. sin x C . Câu 5. Tìm nguyên hàm của hàm số f x 2sin x . A. 2sin xdx 2cos x C B. 2sin xdx 2cos x C C. 2sin xdx sin2 x C D. 2sin xdx sin 2x C Câu 6. Tìm nguyên hàm của hàm số f x 2x 1. 2 1 A. f x dx 2x 1 2x 1 C. B. f x dx 2x 1 2x 1 C. 3 3 1 1 C. f x dx 2x 1 C. D. f x dx 2x 1 C. 3 2 2 Câu 7. Tìm nguyên hàm của hàm số f x x2 . x2 x3 1 x3 2 A. f x dx C . B. f x dx C . 3 x 3 x x3 1 x3 2 C. f x dx C . D. f x dx C . 3 x 3 x 1 Câu 8. Tìm nguyên hàm của hàm số f x . 5x 2 dx 1 dx A. ln 5x 2 C B. ln 5x 2 C 5x 2 5 5x 2
  7. dx 1 dx C. ln 5x 2 C D. 5ln 5x 2 C 5x 2 2 5x 2 Câu 9. Tìm nguyên hàm của hàm số f x cos 3x sin 3x A. cos 3xdx 3sin 3x C B. cos 3xdx C 3 sin 3x C. cos 3xdx sin 3x C D. cos 3xdx C 3 15 Câu 10. Tìm nguyên hàm x x2 7 dx ? 1 16 1 16 1 16 1 16 A. x2 7 C B. x2 7 C C. x2 7 C D. x2 7 C 2 32 16 32 Câu 11. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) e3x là hàm số nào sau đây? 1 1 A. 3ex C . B. e3x C . C. ex C . D. 3e3x C . 3 3 Câu 12. Tính x sin 2x dx . x2 x2 cos 2x x2 cos 2x A. sin x C . B. cos 2x C . C. x2 C . D. C . 2 2 2 2 2 Câu 13. Nguyên hàm của hàm số y e2x 1 là 1 1 A. 2e2x 1 C . B. e2x 1 C . C. e2x 1 C . D. ex C . 2 2 Câu 14. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x 3x sin x . 3x2 A. f x dx 3x2 cos x C . B. f x dx cos x C . 2 3x2 C. f x dx cos x C . D. f x dx 3 cos x C . 2 Câu 15. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) x sinx là x2 x2 A. x2 cos x+C B. x2 cos x+C C. cos x+C D. cos x+C 2 2 Câu 16. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? e2x A. 2x dx 2x ln 2 C . B. e2xdx C . 2 1 1 C. cos 2xdx sin 2x C . D. dx ln x 1 C x 1 . 2 x 1 2x4 3 Câu 17. Cho hàm số f (x) . Khẳng định nào sau đây là đúng? x2 2x3 3 2x3 3 A. f (x)dx C . B. f (x)dx C . 3 2x 3 x 2x3 3 3 C. f (x)dx C . D. f (x)dx 2x3 C . 3 x x x Câu 18. Cho hàm số f x 2 x 1. Tìm f x dx . x 2 1 x 1 2 A. f x dx 2 x x C . B. f x dx 2 x x C . ln 2 2
  8. x 1 2 1 x 1 2 C. f x dx 2 x x C . D. f x dx 2 x x C . 2 x 1 2 x x e Câu 19. Họ nguyên hàm của hàm số y e 2 2 là cos x 1 1 A. 2ex tan x C B. 2ex tan x C C. 2ex C D. 2ex C cos x cos x Câu 20. Tìm nguyên F x của hàm số f x x 1 x 2 x 3 ? x4 11 A. F x 6x3 x2 6x C . B. F x x4 6x3 11x2 6x C . 4 2 x4 11 C. F x 2x3 x2 6x C . D. F x x3 6x2 11x2 6x C . 4 2 1 Câu 21. họ nguyên hàm của hàm số f x là: 5x 4 1 1 1 A. ln 5x 4 C . B. ln 5x 4 C . C. ln 5x 4 C . D. ln 5x 4 C . 5 ln 5 5 x 3 Câu 22. Khi tính nguyên hàm dx , bằng cách đặt u x 1 ta được nguyên hàm nào? x 1 A. 2 u2 4 d u . B. u2 4 d u . C. u2 3 d u . D. 2u u2 4 d u . sin x Câu 23. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) . 1 3cos x 1 A. f (x)dx ln 1 3cos x C . B. f (x)dx ln 1 3cos x C . 3 1 C. f (x)dx 3ln 1 3cos x C . D. f (x)dx ln 1 3cos x C . 3 2x 1 Câu 24. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x trên khoảng 1; là x 1 2 2 3 A. 2ln x 1 C . B. 2ln x 1 C . x 1 x 1 2 3 C. 2ln x 1 C . D. 2ln x 1 C . x 1 x 1 3 Câu 25. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x x2.ex 1 . 3 x 3 3 A. f x dx .ex 1 C . B. f x dx 3ex 1 C . 3 3 1 3 C. f x dx ex 1 C . D. f x dx ex 1 C . 3 2 Câu 26. Nguyên hàm của f x sin 2x.esin x là sin2 x 1 sin2 x 1 2 e 2 e A. sin2 x.esin x 1 C . B. C . C. esin x C . D. C . sin2 x 1 sin2 x 1 1 ln x Câu 27. Nguyên hàm của f x là: x.ln x 1 ln x 1 ln x A. dx ln ln x C . B. dx ln x2.ln x C . x.ln x x.ln x
  9. 1 ln x 1 ln x C. dx ln x ln x C . D. dx ln x.ln x C . x.ln x x.ln x ln 2 Câu 28. Cho hàm số f x 2 x. . Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số f x ? x A. F x 2 x C B. F x 2 2 x 1 C C. F x 2 2 x 1 C D. F x 2 x 1 C 1 Câu 29. Cho F x là một nguyên hàm của f x trên khoảng 1; thỏa mãn F e 1 4 Tìm x 1 F x . A. 2ln x 1 2 B. ln x 1 3 C. 4ln x 1 D. ln x 1 3 1 Câu 30. Hàm số F x là một nguyên hàm của hàm số y trên ;0 thỏa mãn F 2 0 . Khẳng định x nào sau đây đúng? x A. F x ln x ;0 2 B. F x ln x C x ;0 với C là một số thực bất kì. C. F x ln x ln 2 x ;0 . D. F x ln x C x ;0 với C là một số thực bất kì. MỨC ĐỘ VẬN DỤNG 1  2 Câu 31. Cho hàm số f (x) xác định trên ¡ \  thỏa mãn f x , f 0 1, f 1 2 . Giá trị của 2 2x 1 biểu thức f 1 f 3 bằng A. 2 ln15 B. 3 ln15 C. ln15 D. 4 ln15 1 Câu 32. Cho hàm số f x xác định trên R \ 1 thỏa mãn f x , f 0 2017 , f 2 2018 . x 1 Tính S f 3 f 1 . A. S ln 4035 . B. S 4 . C. S ln 2 . D. S 1. Câu 33. Biết F x ex 2x2 là một nguyên hàm của hàm số f x trên ¡ . Khi đó f 2x dx bằng 1 1 A. 2ex 4x2 C. B. e2x 4x2 C. C. e2x 8x2 C. D. e2x 2x2 C. 2 2 Câu 34. Cho f (4x)dx x2 3x c . Mệnh đề nào dưới đây đúng? x2 A. f (x 2)dx 2x C . B. f (x 2)dx x2 7x C . 4 x2 x2 C. f (x 2)dx 4x C . D. f (x 2)dx 4x C . 4 2 Câu 35. Cho f x dx 4x3 2x C . Tính I xf x2 dx . 0 x10 x6 A. I 2x6 x2 C . B. I C . 10 6 C. I 4x6 2x2 C . D. I 12x2 2 .
  10. b Câu 36. Tìm một nguyên hàm F x của hàm số f x ax x 0 , biết rằng x2 F 1 1, F 1 4, f 1 0 3 3 7 3 3 7 A. F x x2 . B. F x x2 . 2 4x 4 4 2x 4 3 3 7 3 3 1 C. F x x2 . D. F x x2 . 4 2x 4 2 2x 2 2x 13 Câu 37. Cho biết dx a ln x 1 bln x 2 C . x 1 x 2 Mệnh đề nào sau đây đúng? A. a 2b 8 . B. a b 8 . C. 2a b 8 . D. a b 8 . 1 Câu 38. Cho hàm số f x xác định trên ¡ \ 2;1 thỏa mãn f x , f 3 f 3 0 và x2 x 2 1 f 0 . Giá trị của biểu thức f 4 f 1 f 4 bằng 3 1 1 1 4 1 8 A. ln 2 . B. ln80 1. C. ln ln 2 1. D. ln 1. 3 3 3 5 3 5 1 Câu 39. Cho hàm số f x xác định trên ¡ \ 1 thỏa mãn f x , f 0 2017 ,, f 2 2018 . x 1 Tính S f 3 2018 f 1 2017 . A. S 1. B. S 1 ln2 2 . C. S 2ln 2 . D. S ln2 2 . x Câu 40. Cho hàm số f x . Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số g x x 1 . f x là x2 2 x2 2x 2 x 2 x2 x 2 x 2 A. C . B. C . C. C . D. C . 2 x2 2 x2 2 x2 2 2 x2 2 Câu 41. Cho hàm số f x thỏa mãn f x f x e x ,x ¡ và f 0 2 . Tất cả các nguyên hàm của f x e2x là A. x 2 ex ex C B. x 2 e2x ex C C. x 1 ex C D. x 1 ex C Câu 42. Cho hàm số y f x thỏa mãn f ' x x 1 ex , f 0 0 và f x dx ax b ex c với a,b,c là các hằng số. Khi đó: A. a b 2. B. a b 3. C. a b 1. D. a b 0. MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO Câu 43. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ \ 1;0 thỏa mãn điều kiện: f 1 2ln 2 và x. x 1 . f x f x x2 x . Biết f 2 a b.ln 3 ( a , b ¤ ). Giá trị 2 a2 b2 là 27 3 9 A. . B. 9. C. . D. . 4 4 2 Câu 44. Cho hàm số y f x thỏa mãn f x 0,x 0 và có đạo hàm f x liên tục trên khoảng 1 0; thỏa mãn f x 2x 1 f 2 x ,x 0 và f 1 . Giá trị của biểu thức 2 f 1 f 2 ... f 2020 bằng 2020 2015 2019 2016 A. . B. . C. . D. . 2021 2019 2020 2021
  11. Câu 45. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ \ 1;0 thỏa mãn f 1 2ln 2 1, x x 1 f x x 2 f x x x 1 , x ¡ \ 1;0 . Biết f 2 a bln 3 , với a , b là hai số hữu tỉ. Tính T a2 b . 3 21 3 A. T . B. T . C. T . D. T 0 . 16 16 2 2 2 Câu 46. Cho hàm số f x thỏa mãn f x f x . f x 2x x 1, x ¡ và f 0 f 0 3. 2 Giá trị của f 1 bằng 19 A. 28 . B. 22 . C. . D. 10. 2 1 Câu 47. Cho hàm số f x liên tục trên ¡ , f x 0 với mọi x và thỏa mãn f 1 , 2 a f x 2x 1 f 2 x .Biết f 1 f 2 ... f 2019 1 với a,b ¥ , a,b 1 .Khẳng b định nào sau đây sai? A. a b 2019. B. ab 2019 . C. 2a b 2022 . D. b 2020 . f 3 x x2 1 2x Câu 48. Cho hàm số f x có đạo hàm trên R thỏa mãn 3 f x .e 0 với x ¡ . Biết f 2 x 7 f 0 1, tính tích phân x. f x dx . 0 11 15 45 9 A. . B. . C. . D. . 2 4 8 2 Câu 49. Cho hàm số y f x liên tục và không âm trên ¡ thỏa mãn f x . f x 2x f 2 x 1 và f 0 0. Gọi M ,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x trên đoạn 1;3. Biết rằng giá trị của biểu thức P 2M m có dạng a 11 b 3 c, a,b,c ¢ . Tính a b c A. a b c 7 . B. a b c 4 . C. a b c 6 . D. a b c 5 . Câu 50. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ \ 1;0 thỏa mãn f 1 2ln 2 1, x x 1 f x x 2 f x x x 1 , x ¡ \ 1;0 . Biết f 2 a bln 3 , với a,b là hai số hữu tỉ. Tính T a2 b . 21 3 3 A. T . B. T . C. T 0 . D. T . 16 2 16 PHẦN ĐÁP ÁN CHI TIẾT Câu 1. Hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên khoảng K nếu A. F '(x) f (x),x K. B. f '(x) F(x),x K. C. F '(x) f (x),x K. D. f '(x) F(x),x K. Lời giải Chọn C Theo định nghĩa thì hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên khoảng K nếu F '(x) f (x),x K. Câu 2. 5x4dx bằng
  12. 1 A. x5 C . B. x5 C . C. 5x5 C . D. 20x3 C . 5 Lời giải Chọn B Ta có 5x4dx x5 C . Câu 3. Nguyên hàm của hàm số f x x4 x2 là 1 1 A. x5 x3 C B. x4 x2 C C. x5 x3 C . D. 4x3 2x C 5 3 Lời giải Chọn A 1 1 f x dx x4 x2 dx x5 x3 C . 5 3 Câu 4. Họ nguyên hàm của hàm số f x cos x 6x là A. sin x 3x2 C . B. sin x 3x2 C . C. sin x 6x2 C . D. sin x C . Lời giải Chọn A Ta có f x dx cos x 6x dx sin x 3x2 C . Câu 5. Tìm nguyên hàm của hàm số f x 2sin x . A. 2sin xdx 2cos x C B. 2sin xdx 2cos x C C. 2sin xdx sin2 x C D. 2sin xdx sin 2x C Lời giải Chọn A Câu 6. Tìm nguyên hàm của hàm số f x 2x 1. 2 1 A. f x dx 2x 1 2x 1 C. B. f x dx 2x 1 2x 1 C. 3 3 1 1 C. f x dx 2x 1 C. D. f x dx 2x 1 C. 3 2 Lời giải Chọn B 1 1 f x dx 2x 1dx 2x 1 2 d 2x 1 2 . 1 2x 1 2x 1 C 3 2 Câu 7. Tìm nguyên hàm của hàm số f x x2 . x2 x3 1 x3 2 A. f x dx C . B. f x dx C . 3 x 3 x x3 1 x3 2 C. f x dx C . D. f x dx C . 3 x 3 x Lời giải Chọn B 3 2 2 x 2 Ta có x 2 dx C . x 3 x
  13. 1 Câu 8. Tìm nguyên hàm của hàm số f x . 5x 2 dx 1 dx A. ln 5x 2 C B. ln 5x 2 C 5x 2 5 5x 2 dx 1 dx C. ln 5x 2 C D. 5ln 5x 2 C 5x 2 2 5x 2 Lời giải Chọn A dx 1 dx 1 Áp dụng công thức ln ax b C a 0 ta được ln 5x 2 C . ax b a 5x 2 5 Câu 9. Tìm nguyên hàm của hàm số f x cos 3x sin 3x A. cos 3xdx 3sin 3x C B. cos 3xdx C 3 sin 3x C. cos 3xdx sin 3x C D. cos 3xdx C 3 Lời giải Chọn B sin 3x Ta có: cos 3xdx C 3 15 Câu 10. Tìm nguyên hàm x x2 7 dx ? 1 16 1 16 1 16 1 16 A. x2 7 C B. x2 7 C C. x2 7 C D. x2 7 C 2 32 16 32 Lời giải Chọn D 15 1 15 1 16 x x2 7 dx x2 7 d x2 7 x2 7 C 2 32 Câu 11. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) e3x là hàm số nào sau đây? 1 1 A. 3ex C . B. e3x C . C. ex C . D. 3e3x C . 3 3 Lời giải Chọn B 1 Ta có: e3xdx e3x C, với C là hằng số bất kì. 3 Câu 12. Tính x sin 2x dx . x2 x2 cos 2x x2 cos 2x A. sin x C . B. cos 2x C . C. x2 C . D. C . 2 2 2 2 2 Lời giải Chọn D x2 cos 2x Ta có x sin 2x dx = xdx sin 2xdx C . 2 2 Câu 13. Nguyên hàm của hàm số y e2x 1 là 1 1 A. 2e2x 1 C . B. e2x 1 C . C. e2x 1 C . D. ex C . 2 2 Lời giải Chọn C
  14. 1 1 Ta có: e2x 1dx e2x 1d 2x 1 e2x 1 C . 2 2 Câu 14. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x 3x sin x . 3x2 A. f x dx 3x2 cos x C . B. f x dx cos x C . 2 3x2 C. f x dx cos x C . D. f x dx 3 cos x C . 2 Lời giải Chọn C 3x2 Ta có f x dx 3x sin x dx cos x C . 2 Câu 15. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) x sinx là x2 x2 A. x2 cos x+C B. x2 cos x+C C. cos x+C D. cos x+C 2 2 Lời giải Chọn C Theo bảng nguyên hàm cơ bản Câu 16. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? e2x A. 2x dx 2x ln 2 C . B. e2xdx C . 2 1 1 C. cos 2xdx sin 2x C . D. dx ln x 1 C x 1 . 2 x 1 Lời giải Chọn A 2x Ta có: 2x dx C . ln 2 2x4 3 Câu 17. Cho hàm số f (x) . Khẳng định nào sau đây là đúng? x2 2x3 3 2x3 3 A. f (x)dx C . B. f (x)dx C . 3 2x 3 x 2x3 3 3 C. f (x)dx C . D. f (x)dx 2x3 C . 3 x x Lời giải Chọn B 4 3 2x 3 2 3 2x 3 Ta có f (x)dx 2 dx 2x 2 dx C x x 3 x x Câu 18. Cho hàm số f x 2 x 1. Tìm f x dx . x 2 1 x 1 2 A. f x dx 2 x x C . B. f x dx 2 x x C . ln 2 2 x 1 2 1 x 1 2 C. f x dx 2 x x C . D. f x dx 2 x x C . 2 x 1 2 Lời giải Chọn B
  15. x 1 x 1 2 Ta có: 2 x 1 dx 2 x x C. ln 2 2 x x e Câu 19. Họ nguyên hàm của hàm số y e 2 2 là cos x 1 1 A. 2ex tan x C B. 2ex tan x C C. 2ex C D. 2ex C cos x cos x Lời giải Chọn A x x e x 1 Ta có: y e 2 2 2e 2 cos x cos x x 1 x ydx 2e 2 dx 2e tan x C . cos x Câu 20. Tìm nguyên F x của hàm số f x x 1 x 2 x 3 ? x4 11 A. F x 6x3 x2 6x C . B. F x x4 6x3 11x2 6x C . 4 2 x4 11 C. F x 2x3 x2 6x C . D. F x x3 6x2 11x2 6x C . 4 2 Lời giải Chọn C x4 11 Ta có: f x x3 6x2 11x 6 F x x3 6x2 11x 6 dx 2x3 x2 6x C . 4 2 1 Câu 21. họ nguyên hàm của hàm số f x là: 5x 4 1 1 1 A. ln 5x 4 C . B. ln 5x 4 C . C. ln 5x 4 C . D. ln 5x 4 C . 5 ln 5 5 Lời giải Chọn D 1 1 1 1 Ta có dx d 5x 4 ln 5x 4 C 5x 4 5 5x 4 5 x 3 Câu 22. Khi tính nguyên hàm dx , bằng cách đặt u x 1 ta được nguyên hàm nào? x 1 A. 2 u2 4 d u . B. u2 4 d u . C. u2 3 d u . D. 2u u2 4 d u . Lời giải Chọn A Đặt u x 1 x u2 1 d x 2u d u . x 3 u2 4 Khi đó dx trở thành .2u d u 2 u2 4 d u . x 1 u sin x Câu 23. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) . 1 3cos x 1 A. f (x)dx ln 1 3cos x C . B. f (x)dx ln 1 3cos x C . 3 1 C. f (x)dx 3ln 1 3cos x C . D. f (x)dx ln 1 3cos x C . 3 Lời giải
  16. Chọn D sin x 1 1 1 Ta có: dx d 1 3cos x ln 1 3cos x C . 1 3cos x 3 1 3cos x 3 2x 1 Câu 24. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x trên khoảng 1; là x 1 2 2 3 A. 2ln x 1 C . B. 2ln x 1 C . x 1 x 1 2 3 C. 2ln x 1 C . D. 2ln x 1 C . x 1 x 1 Lời giải Chọn B 2x 1 2 x 1 3 2 3 3 Ta có f x dx dx dx dx 2ln x 1 C. 2 2 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 3 Câu 25. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x x2.ex 1 . 3 x 3 3 A. f x dx .ex 1 C . B. f x dx 3ex 1 C . 3 3 1 3 C. f x dx ex 1 C . D. f x dx ex 1 C . 3 Lời giải Chọn D 3 1 3 1 3 f x dx x2ex 1dx ex 1d x3 1 ex 1 C . 3 3 2 Câu 26. Nguyên hàm của f x sin 2x.esin x là sin2 x 1 sin2 x 1 2 e 2 e A. sin2 x.esin x 1 C . B. C . C. esin x C . D. C . sin2 x 1 sin2 x 1 Lời giải Chọn C 2 2 2 Ta có sin 2x.esin xdx esin xd sin2 x esin x C 1 ln x Câu 27. Nguyên hàm của f x là: x.ln x 1 ln x 1 ln x A. dx ln ln x C . B. dx ln x2.ln x C . x.ln x x.ln x 1 ln x 1 ln x C. dx ln x ln x C . D. dx ln x.ln x C . x.ln x x.ln x Lời giải Chọn D 1 ln x Ta có I f x dx dx . x.ln x 1 ln x 1 Đặt x ln x t ln x 1 dx dt . Khi đó ta có I dx dt ln t C ln x.ln x C . x.ln x t ln 2 Câu 28. Cho hàm số f x 2 x. . Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số f x ? x A. F x 2 x C B. F x 2 2 x 1 C C. F x 2 2 x 1 C D. F x 2 x 1 C
  17. Lời giải Chọn A ln 2 ln 2 Ta có F x f x dx 2 x. dx 2 x. dx . x x 1 Đặt u x du dx . 2 x 2u Vậy F x 2ln 2. 2u.du 2ln 2. C 2 x 1 C . ln 2 Phương án B: F x 2 x 1 2 C thỏa. Phương án C: F x 2 x 1 2 C thỏa. 1 Câu 29. Cho F x là một nguyên hàm của f x trên khoảng 1; thỏa mãn F e 1 4 Tìm x 1 F x . A. 2ln x 1 2 B. ln x 1 3 C. 4ln x 1 D. ln x 1 3 Lờigiải Chọn B 1 F x = dx C ln x 1 C x 1 F e 1 4 . Ta có 1 C 4 C 3 1 Câu 30. Hàm số F x là một nguyên hàm của hàm số y trên ;0 thỏa mãn F 2 0 . Khẳng định x nào sau đây đúng? x A. F x ln x ;0 2 B. F x ln x C x ;0 với C là một số thực bất kì. C. F x ln x ln 2 x ;0 . D. F x ln x C x ;0 với C là một số thực bất kì. Lời giải Chọn A 1 Ta có F x dx ln x C ln x C với x ;0 . x x Lại có F 2 0 ln 2 C 0 C ln 2 . Do đó F x ln x ln 2 ln . 2 x Vậy F x ln x ;0 . 2 BÀI TẬP VẬN DỤNG 1  2 Câu 31. Cho hàm số f (x) xác định trên ¡ \  thỏa mãn f x , f 0 1, f 1 2 . Giá trị của 2 2x 1 biểu thức f 1 f 3 bằng A. 2 ln15 B. 3 ln15 C. ln15 D. 4 ln15 Lời giải Chọn C 2 dx ln 2x 1 C f x 2x 1
  18. 1 Với x , f 0 1 C 1 nên f 1 1 ln 3 2 1 Với x , f 1 2 C 2 nên f 3 2 ln 5 2 Nên f 1 f 3 3 ln15 1 Câu 32. Cho hàm số f x xác định trên R \ 1 thỏa mãn f x , f 0 2017 , f 2 2018 . x 1 Tính S f 3 f 1 . A. S ln 4035 . B. S 4 . C. S ln 2 . D. S 1. Lời giải Chọn D 1 Trên khoảng 1; ta có f ' x dx dx ln x 1 C f x ln x 1 C . x 1 1 1 Mà f (2) 2018 C1 2018. 1 Trên khoảng ;1 ta có f ' x dx dx ln 1 x C f x ln 1 x C . x 1 2 2 Mà f (0) 2017 C2 2017 . ln(x 1) 2018 khi x 1 Vậy f x . Suy ra f 3 f 1 1. ln(1 x) 2017 khi x 1 Câu 33. Biết F x ex 2x2 là một nguyên hàm của hàm số f x trên ¡ . Khi đó f 2x dx bằng 1 1 A. 2ex 4x2 C. B. e2x 4x2 C. C. e2x 8x2 C. D. e2x 2x2 C. 2 2 Lời giải Chọn B Ta có: F x ex 2x2 là một nguyên hàm của hàm số f x trên ¡ Suy ra: f x F x ex 2x2 ex 4x f 2x e2x 8x 1 f 2x dx e2x 8x dx e2x 4x2 C. 2 Câu 34. Cho f (4x)dx x2 3x c . Mệnh đề nào dưới đây đúng? x2 A. f (x 2)dx 2x C . B. f (x 2)dx x2 7x C . 4 x2 x2 C. f (x 2)dx 4x C . D. f (x 2)dx 4x C . 4 2 Lời giải Chọn C Từ giả thiết bài toán f (4x) dx x2 3x c . 2 1 t t t 2 Đặt t 4x dt 4dx từ đó ta có f (t)dt 3 c f (t)dt 3t c . 4 4 4 4 (x 2)2 x2 Xét f (x 2)dx f (x 2)d(x 2) 3(x 2) c 4x C . 4 4 x2 Vậy mệnh đề đúng là f (x 2)dx 4x C . 4
  19. Câu 35. Cho f x dx 4x3 2x C . Tính I xf x2 dx . 0 x10 x6 A. I 2x6 x2 C . B. I C . 10 6 C. I 4x6 2x2 C . D. I 12x2 2 . Lời giải Chọn A 1 1 3 Ta có: I xf x2 dx f x2 dx2 4 x2 2 x2 C 2x6 x2 C . 2 2 b Câu 36. Tìm một nguyên hàm F x của hàm số f x ax x 0 , biết rằng x2 F 1 1, F 1 4, f 1 0 3 3 7 3 3 7 A. F x x2 . B. F x x2 . 2 4x 4 4 2x 4 3 3 7 3 3 1 C. F x x2 . D. F x x2 . 4 2x 4 2 2x 2 Lời giải Chọn C b 1 2 b Ta có F x f x dx ax 2 dx ax C . x 2 x 1 3 a b C 1 b 2 2 F 1 1 1 3 Theo bài ra F 1 4 a b C 4 a . 2 2 f 1 0 a b 0 7 C 4 3 3 7 Vậy F x x2 . 4 2x 4 2x 13 Câu 37. Cho biết dx a ln x 1 bln x 2 C . x 1 x 2 Mệnh đề nào sau đây đúng? A. a 2b 8 . B. a b 8 . C. 2a b 8 . D. a b 8 . Lời giải Chọn D 2x 13 A B A x 2 B x 1 A B x 2A B Ta có: x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 A B 2 A 5 . 2A B 13 B 3 2x 13 5 3 Khi đó: dx dx 5ln x 1 3ln x 2 C . x 1 x 2 x 1 x 2 Suy ra a 5; b 3 nên a b 8 .
  20. 1 Câu 38. Cho hàm số f x xác định trên ¡ \ 2;1 thỏa mãn f x , f 3 f 3 0 và x2 x 2 1 f 0 . Giá trị của biểu thức f 4 f 1 f 4 bằng 3 1 1 1 4 1 8 A. ln 2 . B. ln80 1. C. ln ln 2 1. D. ln 1. 3 3 3 5 3 5 Lời giải Chọn A 1 x 1 ln C ,x ; 2 3 x 2 1 1 1 x 1 f x dx ln C ,x 2;1 . 2 2 x x 2 3 x 2 1 x 1 ln C3 ,x 1; 3 x 2 1 1 1 Ta có f 3 ln 4 C ,x ;2 , f 0 ln C ,x 2;1 , 3 1 3 2 1 1 2 f 3 ln C ,x 1; , 3 5 3 1 1 Theo giả thiết ta có f 0 C 1 ln 2 . 3 2 3 2 1 f 1 ln 2 . 3 3 1 1 Và f 3 f 3 0 C C ln . 1 3 3 10 1 5 1 1 1 1 1 1 Vậy f 4 f 1 f 4 ln C ln 2 ln 2 ln 2 C ln 2 . 3 2 1 3 3 3 3 2 3 3 1 Câu 39. Cho hàm số f x xác định trên ¡ \ 1 thỏa mãn f x , f 0 2017 ,, f 2 2018 . x 1 Tính S f 3 2018 f 1 2017 . A. S 1. B. S 1 ln2 2 . C. S 2ln 2 . D. S ln2 2 . Lời giải Chọn D 1 ln x 1 C1 khi x 1 Ta có f x dx ln x 1 C . x 1 ln 1 x C2 khi x 1 Lại có f 0 2017 ln 1 0 C2 2017 C2 2017 . f 2 2018 ln 2 1 C1 2018 C1 2018 . 2 Do đó S ln 3 1 2018 2018 ln 1 1 2017 2017 ln 2 . x Câu 40. Cho hàm số f x . Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số g x x 1 . f x là x2 2 x2 2x 2 x 2 x2 x 2 x 2 A. C . B. C . C. C . D. C . 2 x2 2 x2 2 x2 2 2 x2 2 Lời giải ChọnB.