Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 12 - Mũ. Logarit - Năm học 2022-2023 - Trường THPT Tô Hiệu

Nội dung text: Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 12 - Mũ. Logarit - Năm học 2022-2023 - Trường THPT Tô Hiệu

1. Trường THPT Tô Hiệu Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp THPT năm học 2022 - 2023 Chuyên đề : MŨ - LOGARIT Trường soạn: THPT TÔ HIỆU SĐT TTCM:0904. 794. 136 Trường phản biện: THPT TIÊN LÃNG SĐT TTCM: 0904.952.606 PHẦN CÓ LỜI GIẢI CHUYÊN ĐỀ: MŨ –LÔGARIT. CHỦ ĐỀ 1: LŨY THỪA – HÀM SỐ LŨY THỪA – LOGARIT- HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT A. Nội Dung: I. Lý thuyết cơ bản : 1. Công thức lũy thừa Dạng 1. Rút gọn, biến đổi, tính toán biểu thức lũy thừa Công thức lũy thừa Cho các số dương a, b và m, n ¡ . Ta có: n * ▪ a a.a...........a với n ¥ n 1 ▪ a0 1  ▪ a n thöøa soá an am ▪ (am )n amn (an )m ▪ am.an am n ▪ am n an 1 n n n a a 2 n n n a a m n * ▪ a b (ab) ▪ a a m (m, n ¥ ) ▪ n 1 b b 3 a a 3 Dạng 2. So sánh các biểu thức chứa lũy thừa ∙ Nếu a 1 thì a a  ; ∙ Nếu 0 a 1 thì a a  . ∙ Với mọi 0 a b , ta có: am bm m 0 am bm m 0 2. Hàm số lũy thừa y x Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số lũy thừa y x ▪ Dạng: với u là đa thức đại số. y u ▪ Tập xác định: Nếu ¢ ÑK u ¡ . ¢ ÑK Nếu  u 0. 0 Nếu ¢ ÑK u 0. Dạng 2. Đạo hàm hàm số lũy thừa ▪ Đạo hàm: y x  y x 1 y u  y u 1. u 1
2. Trường THPT Tô Hiệu Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp THPT năm học 2022 - 2023 3. Logarit Công thức lôgarit Với các điều kiện a 0;a 1;b 0; R ta có: loga b a b loga 1 0 loga a 1 loga a loga b a b loga b loga b 1 n log b log b;( 0) log bn log b;(m;n R;m 0) a a am m a m log (m.n) log m log n log log m log n;(n 0) a a a a n a a logc b 1 loga b ;(c 0;c 1) loga b ;(b 0;b 1) logc a logb a 4. Hàm số mũ, hàm số logarit 1. Hàm số mũ 1. 1.Định nghĩa Cho a > 0, a 1. Hàm số y =ax được gọi là hàm số mũ cơ số a. 1.2. Đạo hàm của hàm số mũ y a x  y a x ln a . y au  y au ln a.u (ex ) ex Đặc biệt: với e 2,71828... (eu ) eu .u 1.3. Sự biến thiên hàm số mũ: y a x . Nếu a 1 thì hàm đồng biến trên ¡ . Nếu 0 a 1 thì hàm nghịch biến trên ¡ . 2. Hàm số logarit 2. 1. Định nghĩa Cho a > 0, a 1. Hàm số y loga x được gọi là hàm số logarit cơ số a. 2.2. Đạo hàm của hàm số logarit 1 y log x  y a x ln a . u y log u  y a u ln a 1 (ln x) x Đặc biệt: . u (ln u) u 2.3. Sự biến thiên hàm số logarit: y loga x . Nếu a 1 : hàm đồng biến trên (0; ) . Nếu 0 a 1 : hàm nghịch biến trên (0; ). B.Bài tập điển hình Câu 1. Tập xác định của hàm số y x 2 là A. R . B. R ‚ 0 . C. 0; . D. 2; . Lời giải Chọn C 2
3. Trường THPT Tô Hiệu Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp THPT năm học 2022 - 2023 Do 2 Z nên hàm số xác định khi x 0 . Vậy D 0; . Câu 2. Trên khoảng 0; , đạo hàm của hàm số y x là: 1 A. y x 1 . B. y x 1 . C. y x 1 . D. y x . Lời giải Chọn A ' Do x π = πx π-1 Câu 3. Với a là số thực dương tùy ý, log 100a bằng A. 1 loga. B. 2 loga . C. 2 loga . D. 1 loga . Lời giải Chọn B Theo tính chất của logarit. log 100a = log100 + loga = 2 + loga Câu 4. Tập xác định của hàm số y log2 x 1 là A. 2; . B. 1; . C. ;1 . D. ; . Lời giải Chọn C Điều kiện xác định của hàm số y log2 x 1 là x 1 0 x 1. Vậy tập xác định của hàm số y log2 x 1 là D 1; . Câu 5. Trên khoảng 0; , đạo hàm của hàm số y log3 x là: 1 1 ln3 1 A. y . B. y . C. y . D. y x xln3 x xln3 Lời giải Chọn B 1 1 Áp dụng công thức log x , ta được y . a xln a xln 3 C. Bài tập 1.Mức nhận biết Câu 1. Cho a 0,m,n ¡ . Khẳng định nào sau đây đúng? am A. am an am n . B. am.an am n . C. (am )n (an )m. D. an m. an Lời giải Chọn C. Tính chất lũy thừa 5 Câu 2. Rút gọn biểu thức Q b3 : 3 b với b 0 . 4 4 5 A. Q b 3 B. Q b 3 C. Q b9 D. Q b2 Lời giải Chọn B 5 5 1 4 Q b3 : 3 b b3 :b3 b 3 1 Câu 3. Tập xác định D của hàm số y x 1 3 là:. A. D 1; B. D ¡ C. D ¡ \ 1 D. D ;1 3
4. Trường THPT Tô Hiệu Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp THPT năm học 2022 - 2023 Lời giải Chọn A Hàm số xác định khi x 1 0 x 1. Vậy D 1; . Câu 4. Hàm số nào dưới đây đồng biến trên tập xác định của nó? x x 1 2 x x A. y B. y C. y 3 D. y 0,5 π 3 Lời giải Chọn C Hàm số y a x đồng biến trên ¡ khi và chỉ khi a 1. 1 2 Thấy các số ; ; 0,5 nhỏ hơn 1, còn 3 lớn hơn 1 nên chọn C. π 3 3 Câu 5. Tìm đạo hàm của hàm số: y (x2 1) 2 1 1 1 1 3 3 3 A. (2x) 2 B. x 4 C. 3x(x2 1) 2 D. (x2 1) 2 2 4 2 Lời giải Chọn C ' 1 ' Áp dụng công thức đạo hàm hợp hàm số lũy thừa : u(x) .u .u(x) ' 3 1 1 2 2 3 2 2 2 2 Ta có : y ' (x 1) .2 x.(x 1) 3x.(x 1) 2 Câu 6 Cho a là số thực dương khác 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng với mọi số dương x, y ? x x A. log log x log y B. log log x y a y a a a y a x x loga x C. loga loga x loga y D. loga y y loga y Lời giải Chọn A Theo tính chất của logarit. Câu 7. xác định của hàm số y log2 x là A. 0; . B. ; . C. 0; . D. 2; . Lời giải Chọn C Điều kiện xác định của hàm số y log2 x là x 0 . Vậy tập xác định của hàm số y log2 x là D 0; . Câu 8.Tập xác định của hàm số y 5x là A. ¡ . B. 0; . C. ¡ \ 0 . D. 0; . Lời giải Chọn A x Tập xác định của hàm số y 5 là ¡ Câu 9. Tìm đạo hàm của hàm số y log x . 4
5. Trường THPT Tô Hiệu Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp THPT năm học 2022 - 2023 ln10 1 1 1 A. y B. y C. y D. y x x ln10 10ln x x Lời giải Chọn B 1 1 Áp dụng công thức log x , ta được y . a xln a xln10 Câu 10. Với a 0 , b 0 , ,  là các số thực bất kì, đẳng thức nào sau đây sai?  a    a a A.  a . B. a .a a . C.  . D. a .b ab . a b b Lời giải Chọn C: vì A, B, D là tính chất đúng lũy thừa Câu 11. Cho các số thực a,b,m,n a,b 0 . Khẳng định nào sau đây là đúng? m n a n m m m n m m m m n m n A. n a . B. a a . C. a b a b . D. a .a a . a Lời giải Chọn D am Ta có: am n Loại A an n am am.n Loại B 1 1 2 12 12 Loại C am.an am n Chọn D Câu 12. Tìm tập tất cả các giá trị của a để 21 a5 7 a2 ? 5 2 A. a 0 . B. 0 a 1. C. a 1. D. a . 21 7 Lời giải Chọn B 7 a2 21 a6 . Ta có 21 a5 7 a2 21 a5 21 a6 mà 5 6 vậy 0 a 1. Câu 13. Cho a 3 5 ,b 32 và c 3 6 . Mệnh đề nào dướ đây đúng? A. c a b . B. a b c . C. b a c . D. a c b . Lời giải Chọn C Ta có 2 4 5 6 , mà 3> 1 nên b < a < c 2 Câu 14. Tìm tập xác định D của hàm số y x2 2x 3 . A. D ¡ B. D ; 3  1; C. D 0; D. D ¡ \ 3;1 Lời giải Chọn B 2 x 1 Hàm số xác định khi x 2x 3 0 . x 3 Vậy D ; 3  1; . 4 Câu 15. Tìm tập xác định D của hàm số y x2 3x . 5
6. Trường THPT Tô Hiệu Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp THPT năm học 2022 - 2023 A. 0;3 . B. D ¡ \ 0;3 . C. D ;0  3; . D. D R Lời giải Chọn B 2 2 2 x 0 Hàm số y x 3x xác định khi x 3x 0 . x 3 Vậy tập xác định của hàm số là D ¡ \ 0;3 . Câu 16. Cho a,b là hai số thực dương tùy ý và b 1.Tìm kết luận đúng. A. ln a ln b ln a b . B. ln a b ln a.ln b . ln a C. ln a ln b ln a b . D. log a . b ln b Lời giải Theo tính chất làm Mũ-Log. 3 Câu 17. Với a là hai số thực dương tùy ý, log2 a bằng 3 1 A. log a . B. log a . C. 3 log a . D. 3log a . 2 2 3 2 2 2 Lời giải Chọn D 3 Ta có: log2 a 3log2 a. Câu 18. Cho a,b,c là các số dương a,b 1 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng? b 1 log a A. B. a b b. loga 3 loga b. a 3 C. log b log b 0 . D. log c log c.log b. a a a b a Lời giải b A. loga 3 = loga b -3 nên A sai, a B. aloga b = b. nên B sai, 1 C. log α b = log b α 0 .nên C sai. a α a D. đúng vì theo quy tắc đổi cơ số Câu 19. Với a là số thực dương tùy ý, ln 5a ln 3a bằng: 5 ln 5 ln 5a A. ln B. C. D. ln 2a 3 ln 3 ln 3a Lời giải Chọn A 5 ln 5a ln 3a ln . 3 Câu 20. Với a là số thực dương tùy ý, log3 3a bằng: A. 1 log3 a B. 3log3 a C. 3 log3 a D. 1 log3 a Lời giải Chọn D 6
7. Trường THPT Tô Hiệu Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp THPT năm học 2022 - 2023 log3 3a log3 3 log3 a 1 log3 a Câu 21. Tập xác định của hàm số y log6 x là A. . 0; B. 0; . C. . ;0 D. . ; Lời giải Chọn B Điều kiện: x 0. Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D 0; . Câu 22. Tập xác định của hàm số y 2x là A. ¡ . B. 0; . C. 0; . D. ¡ \ 0 . Lời giải Chọn A Hàm số mũ y 2x xác định với mọi x ¡ nên tập xác định là D ¡ . Câu 23. Tính đạo hàm của hàm số y 13x 13x A. y B. y x.13x 1 C. y 13x ln13 D. y 13x ln13 Lời giải Chọn C Ta có: y 13x ln13 . Câu 24 . Trong các hàm số sau hàm số nào nghịch biến trên ¡ ? x x 2 3 e 2 A. log3 x B. y log x C. y D. y 4 5 Lời giải x -x x e e 2 5 Do 0 < < 1 nên y = nghịch biến, y = = 4 4 5 2 Câu 25. Hàm số nào dưới đây đồng biến trên tập xác định của nó? x x 1 2 x x A. y B. y C. y 3 D. y 0,5 π 3 Lời giải x Do 3 > 1 y = 3 đồng biến 2 Mức độ thông hiểu 1 1 Câu 1. Cho biểu thức P x 2 .x3 .6 x với x 0 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 11 7 5 A. P x B. P x 6 C. P x 6 D. P x 6 Lời giải Chọn A 1 1 1 1 1 P x 2 .x3 .6 x x 2 3 6 x 2 Câu 2. Đạo hàm của hàm số y 3 x2 3 tại x 1 là 3 4 2 3 4 3 2 A. . B. . C. . D. 3 lựa chọn kia đều sai. 3 3 3 Lời giải 7
8. Trường THPT Tô Hiệu Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp THPT năm học 2022 - 2023 Chọn B 2 Ta có y 3 x2 3 . 1 1 1 2 2 2 2 2 4x 2 y 3 x 3 3 x 3 x 3 2x 3 x 3 . 3 3 3 1 4 4 2 3 4 y 1 .2 3 . 3 3.3 2 3 2 3 4 Vậy y 1 . 3 Câu 3. Với a , b là hai số dương tùy ý, log ab2 bằng 1 A. 2 log a logb B. log a logb C. 2log a logb D. log a 2logb 2 Lời giải Chọn D Có log ab2 log a logb2 log a 2logb . Câu 4. Với các số thực dương a, b bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2a3 2a3 1 A. log2 1 3log2 a log2 b . B. log2 1 log2 a log2 b . b b 3 2a3 2a3 1 C. log2 1 3log2 a log2 b . D. log2 1 log2 a log2 b . b b 3 Lời giải Chọn A 3 2a 3 3 Ta có: log2 log2 2a log2 b log2 2 log2 a log2 b 1 3log2 a log b . b 2 3 Câu 5. Cho loga b 2 và loga c 3 . Tính P loga b c . A. P 13 B. P 31 C. P 30 D. P 108 Lời giải Chọn A 2 3 Ta có: loga b c 2loga b 3loga c 2.2 3.3 13. x 3 Câu 6. Tìm tập xác định D của hàm số y log . 5 x 2 A. D ( ; 2)  (3; ) B. D ( 2;3) C. D ( ; 2) [3; ) D. D ¡ \{ 2} Lời giải Chọn A x 3 x 3 Tập xác định của là tập các số x để 0 x 3 x 2 0 x 2 x 2 Suy ra D ; 2  3; . 2 Câu 7. Hàm số y 2x x có đạo hàm là 8
9. Trường THPT Tô Hiệu Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp THPT năm học 2022 - 2023 2 2 A. 2x x.ln 2 . B. (2x 1).2x x.ln 2 . 2 2 C. (x2 x).2x x 1 . D. (2x 1).2x x . Lời giải Chọn B 2 2 Ta có y ' (x2 x)'.2x x.ln 2 (2x 1).2x x.ln 2 . Câu 8. Tính đạo hàm của hàm số y log2 2x 1 . 2 1 2 1 A. y B. y C. y D. y 2x 1 ln 2 2x 1 ln 2 2x 1 2x 1 Lời giải Chọn A 2x 1 2 Ta có y log2 2x 1 . 2x 1 ln 2 2x 1 ln 2 2 Câu 9. Cho hàm số f x log2 x 1 , tính f 1 1 1 1 A f 1 1. B. f 1 . C. f 1 . D. f 1 . 2ln 2 2 ln 2 Lời giải TXĐ: D ¡ . 2x 1 f x f 1 . x2 1 .ln 2 ln 2 3, Mức vận dụng thấp Câu 1. Với log27 5 a , log3 7 b và log2 3 c , giá trị của log6 35 bằng 3a b c 3a b c 3a b c 3b a c A. B. C. D. 1 c 1 b 1 a 1 c Lời giải Chọn A 1 1 Ta có: log 5 a a log 5 3a log 5 log 3 27 3 3 3 5 3a 1 1 log 7 b log 3 ; bc log 3.log 7 log 7 log 2 ; 3 7 b 2 3 2 7 bc 1 3ac log 5.log 3 log 5 log 2 3 2 2 5 3ac 1 1 1 1 log6 35 log6 5 log6 7 log5 6 log7 6 log5 2 log5 3 log7 3 log7 2 1 1 3a b c 1 1 1 1 c 1 3ac 3a b bc 2 2 Câu 2. Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn log27 a log9 b 5 và log9 a log27 b 7 . Giá trị của a b bằng 9
10. Trường THPT Tô Hiệu Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp THPT năm học 2022 - 2023 A. 312 . B. 316 . C. 318 . D. 39 . Lời giải Chọn D 1 2 2 log3 a log3 b 5 log27 a log9 b 5 3 2 log3 a 3log3 b 15 log3 a 6 +) log a2 log b 7 2 1 3log a log b 21 log b 3 9 27 log a log b 7 3 3 3 2 3 3 3 a 36 a.b 36.33 39 . 3 b 3 3 5 Câu 3. Cho a;b;c là các số thực dương thoản: log2 a log8 b log32 c 10 và a b c . Tính log4 abc . 25 A. . B. 5. C. 25 . D. 50 . 2 Lời giải Chọn A 1 1  log a log b log c 10 log a log b log c 10 2 8 32 2 3 2 5 2 3 5 log2 a log2 b log2 c 10 3 5 log2 a. b. c 10 . Mà a 3 b 5 c 1 1 15 log a log b 2 2 log2 b 2 2 3 2 log2 a 10 log2 a 5 . 1 1 25 log a log c log c 2 2 5 2 2 2 1 1 1 15 25 25 Ta có: log4 abc log2 abc log2 a log2 b log2 c 5 . 2 2 2 2 2 2 Câu 4. Cho các số nguyên dương x, y, z đôi một nguyên tố cùng nhau và thỏa mãn x log200 5 y log200 2 z . Giá trị của biểu thức 29x y 2021z bằng A. 1966 . B. 2020 . C. 2019 . D. 1993 . Lời giải Chọn A Ta có: x log200 5 y log200 2 z x y x y x y z x y z log200 5 log200 2 z log200 5 .2 z 5 .2 200 5 .2 25.4.2 x y 2z 3z x 2z 5 .2 5 .2 y 3z 10
11. Trường THPT Tô Hiệu Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp THPT năm học 2022 - 2023 x 2 Do các số nguyên dương x, y, z đôi một nguyên tố cùng nhau nên y 3 z 1 Giá trị của biểu thức 29x y 2021z 29.2 3 2021 1966 . 1 1 1 1 Câu 5. Cho hai số thực a,b dương khác 1 thỏa mãn . Giá trị log b log b log b log b a a2 an a8 của n là 1 1 A. . B. 3 . C. 5 . D. . 2 4 Lời giải Chọn C 1 1 1 1 Vì a,b dương khác 1 nên ta có: log b log b log b log b a a2 an a8 2 n 8 logb a logb a logb a logb a 1 2 n 8 logb a 0 (1) Vì hai số thực a,b dương khác 1 nên logb a 0 . Do đó từ (1) suy ra 1 2 n 8 0 n 5. Câu 6. Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số f x ln x3 3m2x 32m xác định trên khoảng 0; ? A. 3 . B. 4 . C. 6 . D. 5 Lời giải Chọn A Hàm số f x ln x3 3m2x 32m xác định trên khoảng 0; 3 2 hàm số g x x 3m x 32m 0,x 0; . (*) Ta có: g x 3x2 3m2 . g x 0 3x2 3m2 0 x m . BBT: 11
12. Trường THPT Tô Hiệu Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp THPT năm học 2022 - 2023 3 0 m 4 m ¢ ,m 0 Từ BBT, (*) 2m 32m 0  m 1;2;3 có 3 giá trị m 4 nguyên dương của m thỏa mãn bài toán. 1 Câu 7. Tìm tập hợp các giá trị của tham số m để hàm số y có tập xác định 2 log3 x 2x 3m là ¡ . 2 2 2 2 A. ;10 . B. ; . C. ; . D. ; . 3 3 3 3 Lời giải Chọn D x2 2x 3m 0 2 x 2x 3m 0 2 Điều kiện: x 2x 3m 1. log x2 2x 3m 0 2 3 x 2x 3m 1 Hàm số có TXĐ là ¡ khi và chỉ khi x2 2x 3m 1 ,x ¡ x2 2x 3m 1 0,x ¡ 2 ' 0 2 3m 0 m . 3 ln x 6 Câu 8. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y đồng ln x 2m biến trên 1;e . Tổng các phần tử của S bằng A. 2 . B. 1. C. 3. D. 6 . Lời giải Chọn C x 0 x 0 Điều kiện xác định 2m . ln x 2m 0 x e ln x 6 1 2m 6 2m y y . 2 , x 0, x e . ln x 2m x ln x 2m 2m m 0 e 1 e2m 1;e 2m 1 Hàm số đồng biến trên 1;e . e e m y 0,x 1;e 2 2m 6 0 m 3 12
13. Trường THPT Tô Hiệu Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp THPT năm học 2022 - 2023 m 0 m 1 1 , mà m nguyên dương nên . m 3 m 2 2 Dó đó S 1;2 . Vậy tổng các phần tử của S là: 1 2 3. 2 x 2 Câu 9. Giá trị m để hàm số y nghịch biến trên 1;0 là. 2 x m A. m 2 . B. m 2 . C. m 0 . D. m 1. Lời giải Chọn A Đặt t 2 x t 1;2 t 2 m 2 Ta có hàm số: y y . t m t m 2 3 2 Câu 10. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương m để hàm số y 7x 3x 9 3m x 1 đồng biến trên đoạn 0;1? A. 6 . B. 5 . C. Vô số. D. 3 . Lời giải Chọn D 3 2 y 3x2 6x 9 3m 7x 3x 9 3m x 1 ln 7 Hàm số đồng biến trên đoạn 0;1 y 0,x 0;1 3x2 6x 9 3m 0,x 0;1 x2 2x 3 m,x 0;1 min x2 2x 3 m m 3. 0;1 m ¢ m 1;2;3 . Vậy Chọn D 4.Mức vận dụng cao 1 1 Câu 1. Cho các số thực a , b thỏa mãn a b 1 và 2020 . Giá trị của biểu thức logb a loga b 1 1 P bằng logab b logab a A. 2014 . B. 2016 . C. 2018 . D. 2020 . Lời giải Chọn B Do a b 1 nên loga b 0 , logb a 0 và logb a loga b . 1 1 Ta có: 2020 logb a loga b logb a loga b 2020 2 2 logb a loga b 2 2020 2 2 logb a loga b 2018 (*) 13
14. Trường THPT Tô Hiệu Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp THPT năm học 2022 - 2023 Khi đó, P logb ab loga ab logb a logb b loga a loga b logb a loga b 2 2 2 2 Suy ra: P logb a loga b logb a loga b 2 2018 2 2016 P 2016 Câu 2. Tìm số nguyên dương n sao cho log 2019 22 log 2019 32 log 2019 ... n2 log 2019 10102.20212 log 2019 2018 2018 3 2018 n 2018 2018 A. n 2021. B. n 2019 . C. n 2020 . D. n 2018.. Lời giải log 2019 22 log 2019 32 log 2019 ... n2 log 2019 10102.20212 log 2019 2018 2018 3 2018 n 2018 2018 3 3 3 2 2 log2018 2019 2 log2018 2019 3 log2018 2019 ... n log2018 2019 1010 .2021 log2018 2019 3 3 3 2 2 1 2 3 ... n log2018 2019 1010 .2021 log2018 2019 1 23 33 ... n3 10102.20212 1 2 ... n 2 10102.20212 2 n n 1 2 2 1010 .2021 2 n n 1 1010.2021 2 n2 n 2020.2021 0 n 2020 n 2021  log 2.log 3.log 4...log n Câu 3. Gọi a là giá trị nhỏ nhất của f n 3 3 3 3 với n ¥ và n 2. Hỏi 9n có bao nhiêu giá trị của n để f n a . A. 2 B. 4 C. 1 D. vô số Lời giải Chọn A log3 2.log3 3.log3 4...log3 n 1 f n log 9 2.log 9 3.log 9 4...log 9 n 9n 9 3 3 3 3 Ta có: 8 1 8 - Nếu 2 n 3 0 log 9 k 1 f n log 9 2.log 9 3.log 9 4...log 9 n f 3 3 9 3 3 3 3 - Nếu n 39 f 39 f 38 .log 39 f 38 39 - Nếu n 39 log n 1 f n f 39 .log 39 1 ...log n f 39 39 39 39 Từ đó suy ra Min f n f 39 f 38 . Câu 4. Cho x , y và z là các số thực lớn hơn 1 và gọi w là số thực dương sao cho log w 24 , x log y w 40 và log xyz w 12 . Tính log z w . A. 52. B. 60 . C. 60 . D. 52 . Lời giải Chọn C 14
15. Trường THPT Tô Hiệu Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp THPT năm học 2022 - 2023 1 log w 24 log x x w 24 1 log w 40 log y . y w 40 Lại do 1 1 log w 12 12 12 xyz log xyz log x log y log z w w w w 1 12 log x log y log z w w w 1 1 12 log z log w 60 . 1 1 w z log z 60 24 40 w 1 1 1 1 Câu 5. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn đồng thời và log2 x log2 y log2 z 2020 log2 (xyz) 2020 . Tính log2 xyz x y z xy yz zx 1 A. 4040 . B. 1010. C. 2020. D. 20202 . Lời giải Chọn A Đặt a log2 x;b log2 y;c log2 z . 1 1 1 1 Ta có và a b c 2020 a b c 2020 1 1 1 a b c 1 a b c ab ac bc abc a b c a2b ab2 abc abc b2c bc2 a2c ac2 0 a b b c c a 0 Vì vai trò a,b,c như nhau nên giả sử a b 0 c 2020 z 22020 và xy 1. log2 xyz x y z xy yz zx 1 log2 z(x y z) 1 yz zx 1 2 log2 z 2log2 z 4040 Câu 6. Cho ba số thực dương x, y, z theo thứ tự lập thành một cấp số nhân, đồng thời với mỗi số ¹ log x, log y, log z thực dương a (a 1) thì a a 3 a theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. 1959x 2019y 60z Tính giá trị của biểu thức P = + + . y z x 2019 A. 60 . B. 2019 . C. 4038 . D. . 2 Lời giải Chọn C Ta có: x, y, z là ba số thực dường, theo thứ tự lập thành một cấp số nhân thì y2 = x.z (1) . ¹ log x, log y, log z Với mỗi số thực a (a 1), a a 3 a theo thứ tự lập thành một cấp số cộng 2log y = log x + log z Û 4log y = log x + 3log z (2) thì a a 3 a a a a . Thay (1) vào (2) ta được 2loga x.z = loga x + 3loga z Û loga x = loga z Û x = z . Từ (1) ta suy ra y = x = z . 15
16. Trường THPT Tô Hiệu Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp THPT năm học 2022 - 2023 Thay vào giả thiết thì P = 1959+ 2019+ 60= 4038. CHỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH MŨ- PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT-BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ- BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT. A. Nội Dung: I. Lý thuyết cơ bản : 1. Phương trình mũ: a. Phương trình mũ cơ bản: Dạng: a x b(a 0,a 1). x Cách giải: với b 0 , ta có a b x loga b với b 0 , phương trình vô nghiệm. b. Cách giải một số phương trình mũ đơn giản Cách 1: Biến đổi đưa về cùng cơ số a f (x) = a g(x) Û f (x) = g(x) . Cách 2:Đặt ẩn phụ ïì g(x) g(x) ï t = a > 0 f éa ù= 0 (0 < a ¹ 1) Û íï . ëê ûú ï îï f (t)= 0 Ta thường gặp các dạng: ● m.a2 f (x) + n.a f (x) + p = 0 1 ● m.a f (x) + n.b f (x) + p = 0 , trong đó a.b = 1 . Đặt t = a f (x) ( t > 0), suy ra b f (x) = . t f (x) 2 f (x) f (x) 2 f (x) 2 f (x) æaö ● m.a + n.(a.b) + p.b = 0 . Chia hai vế cho b và đặt t = ç ÷ > 0 . èçb ø÷ Cách 3:Logarit hóa ì f (x) ï 0 0 ● Phương trình a = b Û íï . ï = îï f (x) loga b f (x) g(x) f (x) g(x) ● Phương trình a = b Û loga a = loga b Û f (x)= g(x).loga b f (x) g(x) hoặc logb a = logb b Û f (x).logb a = g(x). Cách 4:Giải bằng phương pháp đồ thị Giải phương trình: a x = f (x) (0 < a ¹ 1). (*) Xem phương trình (*) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị y = a x (0 < a ¹ 1) và y = f (x). Khi đó ta thực hiện hai bước: Bước 1. Vẽ đồ thị các hàm số y = a x (0 < a ¹ 1) và y = f (x). Bước 2. Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của hai đồ thị. Cách 5:Sử dụng tính đơn điệu của hàm số Tính chất 1. Nếu hàm số y = f (x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên (a;b) thì số nghiệm của phương trình f (x)= k trên (a;b) không nhiều hơn một và f (u)= f (v)Û u = v, " u,v Î (a;b). Tính chất 2. Nếu hàm số y = f (x) liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên D ; hàm số y = g(x) liên tục và luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) trên D thì số nghiệm trên D của phương trình f (x)= g(x) không nhiều hơn một. Tính chất 3. Nếu hàm số y = f (x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên D thì bất phương trình f (u)> f (v)Û u > v (hoặc u < v ), " u,v Î D. Cách 6 Sử dụng đánh giá Giải phương trình f (x)= g(x). 16
17. Trường THPT Tô Hiệu Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp THPT năm học 2022 - 2023 ì ì ï f (x)³ m ï f (x)= m Nếu ta đánh giá được í thì f (x)= g(x)Û í . ï ï îï g(x)£ m îï g(x)= m 2. Phương trình lôgarít a. Phương trình lôgarít cơ bản: Dạng: loga x b(a 0,a 1). b Cách giải: loga x b x a ,b R. b. Cách giải một số phương trình lôgarít đơn giản Cách 1:Biến đổi, quy về cùng cơ số ïì 0 < a ¹ 1 log f (x)= log g(x)Û íï . a a ï îï f (x)= g(x)> 0 Cách 2: Đặt ẩn phụ ïì = ï t loga g(x) f élog g(x)ù= 0 (0 < a ¹ 1) Û í . ë a û ï îï f (t)= 0 Cách 3: Mũ hóa hai vế ì ï g(x)> 0 log g(x)= f (x) (0 < a ¹ 1) Û íï . a ï f (x) îï g(x)= a Cách 4: Phương pháp đồ thị Cách 5: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số 3.Bất phương trình mũ + Nếu a 1 thì a f x a g x f x g x . (cùng chiều) + Nếu 0 a 1 thì a f x a g x f x g x . (ngược chiều) f x g x + Nếu a chứa ẩn thì a a a 1 f x g x 0 . 4.Bất phương trình lôgarít + Nếu a 1 thì loga f x loga g x f x g x (cùng chiều) + Nếu 0 a 1 thì loga f x loga g x f x g x (ngược chiều) loga B 0 a 1 B 1 0 + Nếu a chứa ẩn thì log A . a 0 A 1 B 1 0 loga B B. Ví dụ điển hình Câu 1. Nghiệm của phương trình 3x 1 27 là A. x 4 . B. x 3. C. x 2 . D. x 1. Lời giải Chọn A Ta có: 3x 1 27 3x 1 33 x 1 3 x 4. Vậy nghiệm của phương trình là x 4 . Câu 2. Tìm tập nghiệm S của phương trình 2x 1 8 . A. S 4 . B. S 1. C. S 3. D. S 2 . Lời giải Ta có: 2x 1 8 2x 1 23 x 1 3 x 2 . Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S 2 . 2 Câu 3. Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình 22x 5x 4 4 17
18. Trường THPT Tô Hiệu Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp THPT năm học 2022 - 2023 5 5 A. . B. 1. C. 1. D. . 2 2 Lời giải 1 2 x 22x 5x 4 4 2x2 5x 2 0 2 . x 2 5 Vậy tổng hai nghiệm bằng . 2 x Câu 4. Tập nghiệm của bất phương trình 5 25 là A. (5; ). B. ( ;2). C. (2; ). D. ( ; 2). Lời giải Chọn B x Ta có 5 25 x log5 25 2. Câu 5. Tập nghiệm của bất phương trình log(x 2) 0 là A. (2;3). B. ( ; 3). C. (3; ). D. (12; ). Lời giải Chọn C Đk: x 2 0 x 2 Ta có log(x 2) 0 x 2 1 x 3 , kết hợp với điều kiện x 3 C. Bài tập điển hình Mức độ nhận biết, thông hiểu. Câu 1. Nghiệm của phương trình 22x 4 2x là A. x 16 . B. x 16 . C. x 4. D. x 4 . Lời giải Chọn D Ta có: 22x 4 2x 2x 4 x x 4. Câu 2. Nghiệm của phương trình 22x 3 2x là A. x 8 . B. x 8. C. x 3. D. x 3. Lời giải Chọn C Ta có 22x 3 2x 2x 3 x x 3 . Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x 3. Câu 3. Nghiệm của phương trình 22x 2 2x là A. x 2. B. x 2 . C. x 4. D. x 4 . Lời giải Chọn B 22x 2 2x 2x 2 x x 2 . Câu 4. Nghiệm của phương trình: 32x 1 27 là A. x 1. B. x 2 . C. x 4 . D. x 5. Lời giải Chọn B Ta có: 32x 1 27 32x 1 33 2x 1 3 x 2. Câu 5. Nghiệm của phương trình 32x 1 27 là A. 5 . B. 4 . C. 2 . D. 1. 18
19. Trường THPT Tô Hiệu Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp THPT năm học 2022 - 2023 Lời giải Chọn D Ta có: 2x 1 3 x 1. Câu 6. Tìm nghiệm của phương trình 3x 1 27 A. x 10 B. x 9 C. x 3 D. x 4 Lời giải Chọn D 3x 1 33 x 1 3 x 4. Câu 7. Phương trình 52x 1 125 có nghiệm là 5 3 A. x B. x 1 C. x 3 D. x 2 2 Lời giải Chọn B Ta có: 52x 1 125 52x 1 53 2x 1 3 x 1. Câu 8. Phương trình 22x 1 32 có nghiệm là 5 3 A. x 3 B. x C. x 2 D. x 2 2 Lời giải Chọn C Ta có 22x 1 32 22x 1 25 2x 1 5 x 2. Câu 9. Nghiệm của phương trình 22x 1 32 là 17 5 A. x 2 . B. x . C. x . D. x 3. 2 2 Lời giải Chọn D 22x 1 32 22x 1 25 2x 1 5 x 3 . Câu 10. Nghiệm của phương trình 22x 1 8 là 5 3 A. x 2 . B. x . C. x 1. D. x . 2 2 Lời giải Chọn A Ta có: 22x 1 8 2x 1 3 x 2 . Câu 11. Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình 3x m có nghiệm thực. A. m 1 B. m 0 C. m 0 D. m 0 Lời giải Chọn C Để phương trình 3x m có nghiệm thực thì m 0. 2x2 x Câu 12. Tìm tập nghiệm S của phương trình 5 5. 1  1  A. S d B. S 0;  C. S 0;2 D. S 1;  2 2 Lời giải Chọn D 19
20. Trường THPT Tô Hiệu Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp THPT năm học 2022 - 2023 x 1 2x2 x 2 2 5 5 2x x 1 2x x 1 0 1 x 2 Câu 13. Tìm tập nghiệm S của phương trình 2x 1 8 . A. S 4 . B. S 1. C. S 3. D. S 2 . Lời giải Ta có: 2x 1 8 2x 1 23 x 1 3 x 2 . Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S 2 . x2 4 x 6 Câu 14. Phương trình 5 log2 128 có bao nhiêu nghiệm? A. 1 B. 3 C. 2 D. 0 Lời giải 2 2 Phương trình đã cho tương đương với: x 4x 6 log 5 7 x 4x 6 log 5 7 0 Sử dụng máy tính bỏ túi ta thấy phương trình trên có hai nghiệm phân biệt. 2 Câu 15. Tập nghiệm S của phương trình 3x 2x 27 . A. S 1;3. B. S 3;1 . C. S 3; 1 . D. S 1;3 . Lời giải x2 2x 2 x 1 Ta có: 3 27 x 2x 3 . x 3 2 Vậy tập nghiệm S của phương trình 3x 2x 27 là S 1;3 . Câu 16. Nghiệm của phương trình log3 x 2 2 là A. x 11. B. x 10 . C. x 7 . D. 8 . Lời giải Chọn A Điều kiện: x 2 Phương trình tương đương với x 2 32 x 11 Câu 17. Nghiệm của phương trình log2 x 9 5 là A. x 41. B. x 23 . C. x 1. D. x 16 . Lời giải Chọn B ĐK: x 9 5 Ta có: log2 x 9 5 x 9 2 x 23. Câu 18. Nghiệm của phương trình log2 x 6 5 là: A. x 4 . B. x 19 . C. x 38. D. x 26 . Lời giải Chọn D Điều kiện x 6 0 x 6 20