Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 12 - Mặt tròn xoay - Trường THPT Kiến An

Nội dung text: Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 12 - Mặt tròn xoay - Trường THPT Kiến An

1. Chuyên đề 6 : MẶT TRÒN XOAY Trường soạn: THPT Kiến An SĐT TPCM: 0989544265 Trường phản biện: THPT THPT Kiến Thụy SĐT TTCM: A. Lý thuyết cơ bản I. MẶT NÓN TRÒN XOAY 1) Mặt nón tròn xoay + Trong mặt phẳng P cho hai đường thẳng d và cắt nhau tại O và o o tạo thành góc  với 0  90 . Khi quay mp P xung quanh trục thì đường thẳng d sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh O . + Người ta thường gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón. + Đường thẳng Δ gọi là trục, đường thẳng d được gọi là đường sinh và góc 2  gọi là góc ở đỉnh của mặt nón đó. 2) Hình nón tròn xoay + Cho OMI vuông tại I quay quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình được gọi là hình nón tròn xoay (gọi tắt là hình nón) . + OI gọi là đường cao và OM gọi là đường sinh của hình nón. + Hình tròn tâm I , bán kính r IM gọi là đáy của hình nón. 3) Một số công thức : Cho hình nón có chiều cao là h , bán kính đáy r và đường sinh là l ,ta có: + Diện tích xung quanh của hình nón: Sxq rl 2 + Diện tích toàn phần hình nón: Stp r rl 1 + Thể tích khối nón: V r 2 h 3 4) Nhận xét: Nếu cắt hình nón bởi mặt phẳng đi qua đỉnh thì ta được thiết diện là tam giác cân. II) MẶT TRỤ TRÒN XOAY 1) Mặt trụ tròn xoay
2. + Trong mp P cho hai đường thẳng Δ và l song song nhau, cách nhau một khoảng r . Khi quay mp P quanh trục Δ thì đường thẳng l sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay ,hay gọi tắt là mặt trụ. + Đường thẳng Δ được gọi là trục. + Đường thẳng l được gọi là đường sinh. + Khoảng cách r được gọi là bán kính của mặt trụ. 2) Hình trụ tròn xoay + Khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh đường thẳng chứa một cạnh, chẳng hạn cạnh AB thì đường gấp khúc ADCB tạo thành một hình, hình đó được gọi là hình trụ tròn xoay hay gọi tắt là hình trụ. + Độ dài đoạn thẳng CD được gọi là độ dài đường sinh. + Độ dài đoạn thẳng AB được gọi là chiều cao của hình trụ. 3) Một số công thức : Cho hình trụ có chiều cao là h bằng độ dài đường sinh l và bán kính đáy bằng r , khi đó: + Diện tích xung quanh của hình trụ: Sxq 2 rl 2 + Diện tích toàn phần của hình trụ: Stp 2 rl 2 r + Thể tích khối trụ: V r 2 h 4) Nhận xét: + Nếu cắt hình trụ bởi mặt phẳng chứa trục thì ta được thiết diện là một hình chữ nhật. + Nếu cắt mặt trụ tròn xoay bởi một mp(α) vuông góc với trục Δ thì ta được thiết diện là một đường tròn. III) MẶT CẦU 1. Định nghĩa Mặt cầu: S O;R M /OM R 2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng Cho mặt cầu S O;R và mặt phẳng P . Gọi d d O, P OH (với H là hình chiếu vuông góc của O lên mp P )
3. Nếu d R thì P cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn nằm trên P , có tâm H và bán kính r R2 d2 . Nếu d Rthì P tiếp xúc với (S) tại tiếp điểm H . ( mp P được gọi là tiếp diện của (S)) Nếu d Rthì P và (S) không có điểm chung. Khi d 0 thì P đi qua tâm O và được gọi là mặt phẳng kính, đường tròn giao tuyến có bán kính bằng R được gọi là đường tròn lớn. 3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng Cho mặt cầu S O;R và đường thẳng . Gọi d d O, Nếu d Rthì cắt (S) tại hai điểm phân biệt. Nếu d Rthì tiếp xúc với (S). ( đgl tiếp tuyến của (S)). Nếu d Rthì và (S) không có điểm chung. 4. Mặt cầu ngoại tiếp – nội tiếp Mặt cầu ngoại tiếp Mặt cầu nội tiếp Hình đa diện Tất cả các đỉnh của hình đa diện đều nằm Tất cả các mặt của hình đa diện đều tiếp trên mặt cầu xúc với mặt cầu Hình trụ Hai đường tròn đáy của hình trụ nằm trên Mặt cầu tiếp xúc với các mặt đáy và mọi mặt cầu đường sinh của hình trụ Hình nón Mặt cầu đi qua đỉnh và đường tròn đáy Mặt cầu tiếp xúc với mặt đáy và mọi của hình nón đường sinh của hình nón 5. Một số công thức : a) Diện tích mặt cầu: S 4 R 2 4 b) Thể tích khối cầu : V R3 3 B. Ví dụ điển hình HÌNH NÓN,KHỐI NÓN. Ví dụ điển hình Ví dụ 1. Cho hình nón có bán kính đáy bằng 2 và góc ở đỉnh bằng 60 . Tính diện tích xung quanh của hình nón đã cho. Lời giải S 60° A B Gọi S là đỉnh của hình nón và AB là một đường kính của đáy.
4. Theo bài ra, ta có tam giác SAB là tam giác đều l SA AB 2r 4 . Vậy diện tích xung quanh của hình nón đã cho là Sxq rl 8 . Ví dụ 2. Cho tam giác ABC vuông tại C có các cạnh AC = 2a; BC = a . Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay tam giác ABC quanh AB. Lời giải Gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên AB, ta có: AC.BC 2a 5 CH = = AC 2 + BC 2 5 AB = AC2 + BC2 = a 5 Khi quay tam giác ABC quanh AB ta được một vật thể tròn xoay gồm 2 hình nón có:  Hình nón thứ 1 có trục là AH nên h1 = AH&r1 = CH 1 1 Þ V = pr 2 h = p.CH 2 .AH (1) 1 3 1 1 3  Hình nón thứ 2 có trục là BH nên h2 = BH&r2 = CH 1 1 Þ V = pr 2 h = p.CH 2 .BH (2) 2 3 2 2 3 Suy ra thể tích của vật thể tròn xoay là 1 1 V = V + V = p.CH 2 .(AH + BH) = p.CH 2 .AB 1 2 3 3 4pa3 5 = . 15 Ví dụ 3. Cho khối nón đỉnh S có bán kính đáy bằng 2 3a. Gọi A và B là hai điểm thuộc đáy sao cho AB 4a . Biết khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng SAB bằng 2a, tính thể tích của khối nón đã cho. Lời giải. Vẽ OH  AB tại H suy ra H là trung điểm AB . Vẽ OK  SH tại K AB  OH Ta có AB  SOH AB  OK AB  SO Mà SH  OK OK  SAB d O; SAB OK 2a .
5. AB 4a Ta có H là trung điểm AB suy ra HB HA 2a 2 2 2 Xét OAH vuông tại H ta có OH OA2 HA2 2 3a 2a 2 2 2a Áp dụng hệ thức lượng trong SOH vuông tại O ta có 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 SO 2 2a OK SO OH 2a SO 2 2a 1 1 2 Vậy thể tích khối nón là V OA2 .SO . 2 3a .2 2a 8 2 a 3 . 3 3 Ví dụ 4. Một hình nón có đường sinh bằng l =2a và thiết diện qua trục là tam giác vuông. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón b) Tính thể tích của khối nón Lời giải S   a) Thiết diện qua trục là tam giác SAB vuông cân tại S nên A = B = 450 l SO = OA = h=R= a 2 2 =2a 2 Sxq = Rl .a 2.2a 2 2 a S S S 2 2 2 tp xq đáy 2 2 a 2 a (2 2 2) a 45o A B 3 O 1 2 1 2 2 2 a b) V = R h . 2a .a 2 3 3 3 Ví dụ 5. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc SAC bằng 45o. a) Tính thể tích khối chóp . b) Tính diện tích xung quanh của mặt nón ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Lời giải a) Gọi O là tâm của hình vuông ABCD SO  (ABCD). 1 2 a3 2 V B.h; B a2 ; h SO OA.tan 450 a . V 3 2 6 a 2 a2 2 b) Ta có R =OA, l =SA= a. Vậy S . a xq 2 2 Ví dụ 6. Cho hình nón có góc ở đỉnh là 1200 và chiều cao bằng 4. Gọi S là mặt cầu đi qua đỉnh và chứa đường tròn đáy của hình nón đã cho. Tính diện tích của S . Lời giải
6. Ta có SH 4 AB 2AH 2.SH.tan ·ASH 2.4.tan600 8 3 Có OS là bán kính mặt cầu cũng là bán kính đường tròn ngoại tiếp SAB AB 8 3 Suy ra: 2OS OS 8 sin ASB 2.sin1200 Vậy diện tích mặt cầu: S 4 .82 256 HÌNH TRỤ,KHỐI TRỤ. Ví dụ điển hình Ví dụ 1. Cho hình trụ có chiều cao h 1 và bán kính đáy r 2 . Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng A. 3 . B. 4 . C. 2 . D. 6 . Lời giải Chọn B Diện tích xung quanh Sxq 2 rl 4 . Ví dụ 2. Trong không gian cho hình chữ nhật ABCD có AB a và AD 2a . Gọi H , K lần lượt là trung điểm của AD và BC . Quay hình chữ nhật đó quanh trục HK , ta được một hình trụ. Diện tích toàn phần của hình trụ là: 2 2 A. Stp 8 . B. Stp 8a .C. Stp 4a . D. Stp 4 . Lời giải Chọn C Quay hình chữ nhật ABCD quanh trục HK ta được hình trụ có đường cao là h AB a , bán kính 1 đường tròn đáy là R BK BC a . 2 2 2 Vậy diện tích toàn phần của hình trụ là: Stp 2 Rh 2 R 4 a . Ví dụ 3. Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh a. Thể tích khối trụ bằng
7. a3 a3 a3 A. a 3 . B. .C. . D. . 3 4 2 Lời giải Chọn C Giả sử thiết diện là hình vuông ABCD như hình vẽ. AB a Ta có bán kính hình trụ là r , chiều cao là h AD a . 2 2 a3 Vậy thể tích khối trụ là V r2h . 4 Ví dụ 4. Khi cắt khối trụ T bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục của trụ T một khoảng bằng a 2 ta được thiết diện là hình vuông có diện tích bằng 8a 2 . Tính diện tích toàn phần của hình trụ. A. 8 a 2 . B. 4 2 a 2 . C. 8 2 a 2 .D. 8 8 2 a2 . Lời giải Chọn D Thiết diện là hình vuông ABCD . Gọi H là trung điểm đoạn CD . OH  CD Ta có: OH  ABCD . OH  AD Do đó: d O O, ABCD d O, ABCD OH a 2 . 2 2 2 Ta có: S ABCD DC 8a h AD DC 8a 2 2a DH a 2 . Ta có: R OD OH2 DH2 2a . Vậy S 2 Rh 2 R 2 2 .2a.2 2a 2 .4a 2 8 8 2 a 2 . tp
8. Ví dụ 5. Cho hình trụ có chiều cao bằng 6 2 cm . Biết rằng một mặt phẳng không vuông góc với đáy và cắt hai mặt đáy theo hai dây cung song song AB , A B mà AB A B 6 cm , diện tích tứ giác ABB A 2 bằng 60cm . Tính bán kính đáy của hình trụ. A. 5cm . B. 3 2 cm.C. 4 cm . D. 5 2 cm . Lời giải Chọn C Gọi O , O là tâm các đáy hình trụ (hình vẽ). Vì AB A B nên ABB A đi qua trung điểm của đoạn OO và ABB A là hình chữ nhật. Ta có SABB A AB.AA 60 6.AA AA 10 cm . Gọi A1, B1 lần lượt là hình chiếu của A , B trên mặt đáy chứa A và B A B B1A1 là hình chữ nhật có A B 6 cm , 2 2 2 2 2 7 cm B1B BB BB1 10 6 2 2 2 Gọi R là bán kính đáy của hình trụ, ta có 2R A B1 B1B A B 8 R 4 cm . Ví dụ 6: Người ta cần đổ một ống thoát nước hình trụ với chiều cao 200cm , độ dày của thành ống là 15cm , đường kính 15 cm của ống là 80cm . Tính lượng bê tông cần phải đổ 40 cm Lời giải: 200 cm Gọi V1 ,V2 lần lượt là thể tích của khối trụ bên ngoài và bên trong Do đó lượng bê tông cần phải đổ là: 2 2 3 3 V V1 V2 .40 .200 .25 .200 195000 cm 0,195 m Ví dụ 7. Một khối đá có hình là một khối cầu có bán kính 3a , người thợ thủ công mỹ nghệ cần cắt và gọt viên đá đó thành một viên đá cảnh có hình dạng là một khối trụ. Tính thể tích lớn nhất có thể của viên đá cảnh sau khi đã hoàn thiện. 3 3 3 3 27 a 3 A. 36 a 3 .B. 12 a 3 . C. 18 a 3. D. . 4 Lời giải Chọn B
9. Giả sử 2x là chiều cao hình trụ (0 x 3a) (xem hình vẽ) x R O x Bán kính của khối trụ là r 9a2 x2 . Thể tích khối trụ là: V (9a2 x2 )2x 18a2 x 2x3 . Xét hàm số f x 18a2x 2x3, x 0,3a . Ta có: f x 18a2 6x2 , f x 0 x 3a . Bảng biến thiên: 3 Dựa vào bảng biến thiên, giá trị lớn nhất của hàm f x trên 0,3a bằng 12 3a . 3 Vậy thể tích lớn nhất của khối trụ sau hoàn thiện là 12 a 3 . MẶT CẦU, KHỐI CẦU. Ví dụ điển hình Ví dụ 1 Thể tích V của khối cầu bán kính r được tính theo công thức nào dưới đây? 1 4 A. V r 3 . B. V 2 r 3 . C. V 4 r 3 . D. V r 3 . 3 3 Lời giải. Chọn D Ví dụ 2 Cắt khối cầu S I;10 bởi mặt phẳng P cách tâm I một khoảng bằng 6 ta thu được thiết diện là hình tròn có chu vi bằng bao nhiêu? A. 8 . B. 64 . C. 32 .D. 16 . Lời giải Chọn D Theo đề bài mặt cầu có bán kính R 10, khoảng cách từ tâm Iđến mặt phẳng P là d 6 . Bán kính hình tròn là r R2 d 2 102 62 8.
10. Vậy thiết diện là hình tròn có chu vi bằng 2 r 16 . Ví dụ 3 Cho hình chóp S.ABC , đáy là tam giác vuông tại A , AB 3, AC 4, SA vuông góc với đáy, SA 2 14. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Lời giải S Gọi M là trung điểm của BC . Từ M kẻ đường thẳng / /SA . Khi đó là trục của đường tròn ngoại tiếp ABC . Đường trung trực của cạnh bênSA qua trung điểm J và cắt tại I . Suy ra I J là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC I 2 2 SA BC 9 C Có bán kính R IA A 2 2 2 M 3 B 4 9 729 Vậy V 3 2 6 Ví dụ 4 Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình S vuông cạnh a, mặt bên tạo với mặt đáy một góc 600. Một mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu đó. Lời giải J I Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. SO là trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD . Đường trung trực của cạnh bên SA A D qua trung điểm J và cắt SO tại I . M B O Suy ra I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD C và bán kính R = IS a 2 a a 3 Ta có: OA OM SO OM.tan600 SA SO2 OM2 a 2 2 2 SI SJ SJ.SA SA2 a 2 a 3 Do SJI đồng dạng với SOA ta có: SI SA SO SO 2.SO a 3 3 2 3 2 a 3 4 2 4 3 4 a 3 4 3 Vậy S 4 R 4 . a ; V = R a 3 3 3 3 3 3 27 Ví dụ 5 Trong không gian cho hình lập phương cạnh bằng a. a) Một mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh a. Tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu. b) Một mặt cầu nội tiếp hình lập phương cạnh a. Tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu Lời giải Ta có tâm I của mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp hình lập phương ABCDA’B’C’D’ là giao của hai đường chéo A’C với D’B _ ' C_ ' a) Ta có BD a 2; DD' a BD' BD2 DD'2 a 3 D O’ 1 a 3 A_ ' Bán kính R BD' 2 2 B_ ' 2 3 I a 3 4 4 a 3 1 Vậy S 4 R2 4 . 3 a2 R3 a3 3 ; V = _ C_ 2 3 3 2 2 D a b) Ta có OO ' a R IO A_ O 2 B _ 2 3 2 a 2 4 3 4 a 1 3 Vậy S 4 R 4 . a ; V = R a 2 3 3 2 6
11. C. Bài tập I. MẶT NÓN TRÒN XOAY I. NHẬN BIẾT: Câu 1: Diện tích xung quanh của hình nón có độ dài đường sinh l và bán kính đáy r bằng 1 A. 4 rl. B. 2 rl. C. rl . D. rl . 3 Lời giải Chọn C Áp dụng công thức diện tích xung quanh hình nón. Câu 2: Cho hình nón có bán kính đáy r 2 và độ dài đường sinh l 7. Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng A. 28 . B. 14 . C. 14 . D. 98 . 3 3 Lời giải Chọn B Có S x q r l .7 .1 2 1 4 . Câu 3: Cho hình nón có bán kính đáy r 2 và độ dài đường sinh l 5. Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng A. 20 . B. 20 C. 10 . D. 10 . 3 3 Lời giải Chọn C Ta có diện tích xung quanh của hình nón đã cho là: S x q r l .2.5 10 . Câu 4: Gọi l, h, r lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính mặt đáy của hình nón. Diện tích xung quanh S xq của hình nón là: 1 2 A. S r h . B. S r l . C. S r h . D. S 2 r l . xq 3 x q x q x q Lời giải Chọn B Diện tích xung quanh của hình nón là S x q r l . Câu 5: Cho hình nón có bán kính đáy bằng a , đường cao là 2a. Tính diện tích xung quanh hình nón? A. 2 5 a 2 . B. 5 a 2 . C. 2a2. D. 5a2 . Lời giải 2 2 2 Ta có Sxq Rl a a 4a 5 a .
12. Câu 6: Cho hình nón có bán kính đáy r 3 và độ dài đường sinh l 4. Tính diện tích xung quanh của hình nón đã cho. A. Sxq 8 3 B. Sxq 12 C. Sxq 4 3 D. Sxq 39 Lời giải Chọn C Diện tích xung quanh của hình nón là: Sxq rl 4 3 . Câu 7: Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. Tính diện tích xung quanh của hình nón. 2 2 2 2 a 2 a 2 2 a 2 A. . B. . C. a 2. D. . 3 4 2 Lời giải Chọn D Ta có tam giác SAB vuông cân tại S có SA a. a 2 a 2 a2 2 Khi đó: R OA , l SA a. Nên S Rl . .a . 2 xq 2 2 Câu 8: Cho hình nón có đường sinh l 5, bán kính đáy r 3. Diện tích toàn phần của hình nón đó là: A. Stp 15 . B. Stp 20 . C. Stp 22 . D. Stp 24 . Lời giải 2 Áp dụng công thức tính diện tích toàn phàn của hình nón ta có Stp rl r 15 9 24 . Câu 9: Cho khối nón có chiều cao h 3 và bán kính đáy r 4. Thể tích của khối nón đã cho bằng A. 16 . B. 48 . C. 36 . D. 4 . Lời giải Chọn A 1 1 Ta có công thức thể tích khối nón V . .r 2 .h . .16.3 16 . 3 3 Câu 10: Cho khối nón có bán kính đáy r 5 và chiều cao h 2 . Thể tích khối nón đã cho bằng: A. 10 . B. 10 . C. 50 . D. 50 . 3 3 Lời giải Chọn C 1 50 Thể tích khối nón V r 2 h 3 3
13. Câu 11: Cho khối nón có bán kính đáy r 4 và chiều cao h 2 . Thể tích của khối nón đã cho bằng 8 32 A. . B. . 8 C. . D. .32 3 3 Lời giải Chọn C 1 1 32 Thể tích của khối nón đã cho là V r 2h .42.2 . 3 3 3 Câu 12: Cho khối nón có bán kính đáy r 3 và chiều cao h 4 . Tính thể tích V của khối nón đã cho. 16 3 A. V 12 B. V 4 C. V 16 3 D. V 3 Lời giải Chọn B 1 1 2 Ta có V .r 2 .h 3 .4 4 . 3 3 II. THÔNG HIỂU: Câu 13: Cho tam giác ABC vuông tại A,AB c,AC b. Quay tam giác ABC xung quanh đường thẳng chứa cạnh AB ta được một hình nón có thể tích bằng 1 1 1 1 A. bc 2 . B. bc2 . C. b2c. D. b 2c . 3 3 3 3 Lời giải 1 1 V r 2 h b 2c . 3 3 Câu 14: Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng 2a và bán kính đáy bằng a . Thể tích của khối nón đã cho bằng 3 a3 3 a3 2 a3 a3 A. . B. . C. . D. 3 2 3 3 Lời giải Chọn A Chiều cao khối nón đã cho là h l2 r2 a 3 1 1 3 a3 Thể tích khối nón đã cho là: V r2h a2.a 3 . 3 3 3 Câu 15: Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng 2 a và đường cao bằng a 3. Thể tích của khối nón đã cho bằng
14. 2 a3 3 a3 3 a3 a3 A. . B. . C. . D. . 3 2 3 3 Lời giải Chọn C h r Ta có l 2 a , h a 3 . r2 l2 h2 4a2 3a2 a2 r a 1 1 3 a3 Thể tích khối nón là V r 2h a2a 3 . 3 3 3 Câu 16: Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng đường kính đáy bằng a. Thể tích khối nón là. a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 16 48 24 8 Lời giải Chọn C Khối nón có độ dài đường sinh bằng đường kính đáy bằng a. a 3 SAB đều cạnh a SO . 2 1 1 a 3 a2 a3 3 V .SO.S . . . . kn 3 d 3 2 4 24 o Câu 17: Cho hình nón có bán kính đáy bằng 2 , góc ở đỉnh bằng 60 . Thể tích khối nón là 8 3 8 3 8 3 A. V cm3 . B. V cm3 . C. V 8 3 cm 3 . D. V cm3 . 9 2 3 Lời giải
15. r Ta có bán kính đáy r 2 , đường cao h h 2 3 . tan 30o 1 1 8 3 3 Vậy thể tích khối nón V r 2h .4.2 3 cm . 3 3 3 Câu 18: Cho khối nón tròn xoay có đường cao h 15cm và đường sinh l 25cm. Thể tích V của khối nón là: A. V 1500 cm3 . B. V 500 cm3 . C. V 240 cm 3 . D. V 2000 cm3 . Lời giải 1 1 Ta có: V r 2 h . l 2 h 2 .h 2000 . 3 3 3 Vậy: V 2000 (cm ). Câu 19: Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A , AB a và AC 2a . Khi quay tam giác ABC quanh cạnh góc vuông AB thì đường gấp khúc ACB tạo thành một hình nón. Diện tích xung quanh hình nón đó bằng 2 2 A. 5 a 2 . B. 5 a . C. 2 5 a . D. 10 a2 . Lời giải Chọn C B C A B 2 A C 2 a 5 . Diện tích xung quanh hình nón cần tìm là S .AC.BC .2a.a 5 2 5 a2 . Câu 20: Cho hình nón có bán kính đáy bằng 2 và góc ở đỉnh bằng 60. Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng 16 3 8 3 A. 8 . B. . C. . D. 16 . 3 3 Lời giải Chọn A
16. S 60° A B Gọi S là đỉnh của hình nón và AB là một đường kính của đáy. Theo bài ra, ta có tam giác SAB là tam giác đều l SA AB 2r 4 . Vậy diện tích xung quanh của hình nón đã cho là Sxq rl 8 . Câu 21: Cho một hình nón có bán kính đáy bằng a và góc ở đỉnh bằng 60. Tính diện tích xung quanh của hình nón đó. 2 3 a2 4 3 a2 A. S 4 a 2 . B. S . C. S . D. S 2 a 2 . xq xq 3 xq 3 xq Lời giải S 60 A a O B Giả sử hình nón có đỉnh là S , O là tâm của đường tròn đáy và AB là một đường kính của đáy. r OA a, ·ASB 60 ·ASO 30. OA Độ dài đường sinh là l SA 2a . sin 30 Vậy diện tích xung quanh của hình nón là 2 . S x q r l .a .2 a 2 a Câu 22: Cắt hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó, ta được một thiết diện là một tam giác vuông cân cạnh bên a 2 . Tính diện tích toàn phần của hình nón. A. 4a 2 (đvdt). B. 4 2 a 2 (đvdt). C. a 2 2 1 (đvdt). D. 2 2 a 2 (đvdt). Lời giải Giả sử hình nón đã cho có độ dài đường sinh l , bán kính đáy là R . Thiết diện của hình nón qua trục là tam giác OAB vuông cân tại O và O A a 2 . Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông cân OAB ta có: AB 2 OA 2 OB 2 4a 2 AB 2a .
17. Vậy: l a 2 , R a . Diện tích toàn phần của hình nón là: Rl R 2 a 2 2 1 (đvdt). S T P S x q S § ¸ y Câu 23: Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác vuông có cạnh huyền bằng a 2 . Tính diện tích xung quanh S xq của hình nón đó. a2 3 a2 2 a2 2 a2 2 A. S . B. S . C. S . D. S . xq 3 xq 2 xq 6 xq 3 Lời giải S A B Gọi S là đỉnh hình nón, thiết diện qua trục là tam giác SAB. AB a 2 Ta có AB a 2 SA a , suy ra l SA a ; r . 2 2 a 2 a2 2 Vậy S rl . .a . xq 2 2 Câu 24: Cho hình nón tròn xoay có đỉnh là S , O là tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằng a 2 và góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng 60. Diện tích xung quanh S xq của hình nón và thể tích V của khối nón tương ứng là a3 6 a2 a3 3 A. S a 2 , V . B. Sxq , V . x q 12 2 12 3 3 2 a 6 a 6 C. S a 2 , V . D. S a 2 , V . xq 4 x q 4 Lời giải
18. S a 2 600 A O Dựa vào hình vẽ ta có: góc giữa đường sinh và mặt đáy là S·AO 60. Tam giác SAO vuông tại O : a 2 R OA SA.cos S· AO a 2.cos60 . 2 a 6 h SO SA.sin S· AO a 2.sin60 . 2 3 1 2 a 6 Vậy S R l a 2 và V R h . x q 3 12 Mức vận dụng I. NÓN Câu 1. Cho hình tứ diện ABCD có AD ABC , ABC là tam giác vuông tại B . Biết BC a , AB a 3, AD 3a . Quay các tam giác ABC và ABD (Bao gồm cả điểm bên trong 2 tam giác) xung quanh đường thẳng AB ta được 2 khối tròn xoay. Thể tích phần chung của 2 khối tròn xoay đó bằng 3 3 a3 8 3 a3 5 3 a3 4 3 a3 A. . B. . C. . D. . 16 3 16 16 Lời giải Khi quay tam giác ABD quanh AB ta được khối nón đỉnh B có đường cao BA , đáy là đường tròn bán kính AE 3 cm. Gọi I AC  BE , IH  AB tại H . Phần chung của 2 khối nón khi quay tam giác ABC và tam giác ABD quanh AB là 2 khối nón đỉnh A và đỉnh B có đáy là đường tròn bán kính IH .
19. IC BC 1 Ta có IBC đồng dạng với IEA IA 3IC . IA AE 3 AH IH AI 3 3 3a Mặt khác IH //BC IH BC . AB BC AC 4 4 4 Gọi V1 , V2 lần lượt là thể tích của khối nón đỉnh A và B có đáy là hình tròn tâm H 1 V .IH 2 .AH . 1 3 1 V .IH 2 .BH . 2 3 9a2 3 2 3a 3 V V1 V2 V .IH .AB V . .a 3 V . 3 3 16 16 Câu 2. Cho hình nón có chiều cao h 20 , bán kính đáy r 25 . Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 12. Tính diện tích S của thiết diện đó. A. S 500 B. S 400 C. S 300 D. S 406 Lời giải Giả sử hình nón đỉnh S , tâm đáy O và có thiết diện qua đỉnh thỏa mãn yêu cầu bài toán là SAB (hình vẽ). S H B O I A Ta có SO là đường cao của hình nón. Gọi I là trung điểm của AB OI  AB . Gọi H là hình chiếu của O lên SI OH  SI . Ta chứng minh được OH  SAB OH 12 . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Xét tam giác vuông SOI có . OH 2 OS 2 OI 2 OI 2 OH 2 OS 2 122 202 225 OI 2 225 OI 15 . Xét tam giác vuông SOI có SI OS2 OI 2 202 152 25. Xét tam giác vuông OIA có IA OA2 OI 2 252 152 20 AB 40 . 1 1 Ta có S S ABC AB.SI .40.25 500. 2 2 Câu 3. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có các kích thước là AB 2, AD 3, AA 4 . Gọi N là hình nón có đỉnh là tâm của mặt ABB A và đường tròn đáy là đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật CDD C . Tính thể tích V của hình nón N . 25 13 A. 5 . B. 8 . C. . D. . 6 3 Hướng dẫn giải Chọn A
20. Ta có: D C DD 2 DC2 AA 2 AB2 42 22 2 5 Đường tròn đáy là đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật CDD'C ' nên có đường kính là D C. D C Suy ra bán kính đáy r 5 . 2 Chiều cao của hình nón là SO (với O là tâm của hình chữ nhật CDD'C '). h SO AD 3 1 Vậy V . r 2 h 5 . 3 Câu 4. Huyền có một tấm bìa hình tròn như hình vẽ, Huyền muốn biến hình tròn đó thành một cái phễu hình nón. Khi đó Huyền phải cắt bỏ hình quạt tròn AOB rồi dán hai bán kính OA và OB lại với nhau. Gọi x là góc ở tâm hình quạt tròn dùng làm phễu. Tìm x để thể tích phễu là lớn nhất? 2 6 A. . B. . C. . D. . 3 3 2 4 Lời giải Chọn A Góc x chắn cung »AB có độ dài l = R.x . Rx Từ giả thiết suy ra bán kính của phễu là r = và chiều cao của phễu là 2 2 2 æRx ö R 2 2 h = R - ç ÷ = 4 - x . èç2 ø÷ 2 1 1 R2x2 R R3 Khi đó thể tích của phễu là V = r2h = . . 4 2 - x2 = x2 4 2 - x2 . 3 3 4 2 2 24 2