Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 12 - Chủ đề 5: Khối đa diện và thể tích - Trường THPT An Lão

Nội dung text: Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 12 - Chủ đề 5: Khối đa diện và thể tích - Trường THPT An Lão

1. CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2023 Trường soạn : THPT An Lão Số điện thoại TTCM : 0904113479 Trường phản biện : THPT Kiến An Số điện thoại TTCM : CHỦ ĐỀ 5: KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH PHẦN 1: KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN PHẦN 2: KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU PHẦN 3: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN PHẦN 1: KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN A. LÝ THUYẾT CƠ BẢN 1. Khái niệm về hình đa diện Hình đa diện là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất: · Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung. · Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác. Mỗi đa giác như trên được gọi là một mặt của hình đa diện. Các đỉnh, các cạnh của đa giác theo thứ tự gọi là các đỉnh, các cạnh của hình đa diện. 2. Khái niệm về khối đa diện Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó. Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngoài của khối đa diện. Tập hợp các điểm ngoài được gọi là miền ngoài của khối đa diện. Những điểm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện ứng với đa diện ấy được gọi là điểm trong của khối đa diện. Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong của khối đa diện. Mỗi khối đa diện được xác định bởi một hình đa diện ứng với nó. Ta cũng gọi đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngoài của một khối đa diện theo thứ tự là đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngoài của hình đa diện tương ứng. 3. Phân chia và lắp ghép các khối đa diện Nếu khối đa diện (H ) là hợp của hai khối đa diện (H1 ) và (H2 ) sao cho (H1 ) và (H2 ) không có chung điểm trong nào thì ta nói có thể phân chia được khối đa diện (H ) thành hai khối đa diện (H1 ) và (H2 ). Khi đó ta cũng nói có thể ghép hai khối đa diện (H1 ) và (H2 ) để được khối đa diện (H ). B. VÍ DỤ ĐIỂN HÌNH Ví dụ 1. Một hình hộp đứng có đáy là hình thoi (không phải là hình vuông) có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải. Chọn C. Hình hộp đứng có đáy là hình thoi (không phải là hình chữ nhật) có 3 mặt phẳng đối xứng bao gồm: Loại 1: Mặt phẳng đối xứng chứa đường Loại 2: Mặt phẳng đối xứng là mặt chéo của đáy và vuông góc với mặt đáy phẳng trung trực của các cạnh bên. (có (có 2 mặt). 1 mặt) 1 S A D C B
2. Ví dụ 2. Có tất cả bao nhiêu mặt phẳng cách đều bốn đỉnh của một tứ diện? A. 1. B. 4. C. 7. D. Vô số. Lời giải. Chọn C. Loại 1: Mặt phẳng qua trung điểm của Loại 2: Mặt phẳng qua trung điểm của 3 cạnh bên có chung đỉnh (có 4 mặt). 4 cạnh ( 4 cạnh này thuộc 2 cặp cạnh, mỗi cặp cạnh là chéo nhau) (có 3 mặt). Ví dụ 3. Người ta ghép 5 khối lập phương cạnh a để được khối hộp chữ thập (tham khảo hình bên dưới). Tính diện tích toàn phần Stp của khối chữ thập đó. 2 2 2 2 A. Stp = 12a . B. Stp = 20a . C. Stp = 22a . D. Stp = 30a . Lời giải. Diện tích mỗi mặt của một hình lập phương là a2 . Diện tích toàn phần của 5 khối lập phương là 5.6a2 = 30a2 . Khi ghép thành khối hộp chữ thập, đã có 4.2 = 8 mặt ghép vào phía trong, do đó diện tích toàn phần cần tìm là: 30a2 - 8a2 = 22a2 . Chọn C. Ví dụ 4. Mặt phẳng (AB¢C ¢) chia khối lăng trụ ABC.A¢B¢C ¢ thành các khối đa diện nào? A. Một khối chóp tam giác và một khối chóp tứ giác. B. Hai khối chóp tam giác. C. Một khối chóp tam giác và một khối chóp ngũ giác. D. Hai khối chóp tứ giác. Lời giải. Chọn A. Dựa vào hình vẽ, ta thấy mặt phẳng (AB¢C ¢) chia khối lăng trụ ABC.A¢B¢C ¢ thành khối chóp tam giác A.A¢B¢C ¢ và khối chóp tứ giác A.BCC ¢B¢. Ví dụ 5. Lắp ghép hai khối đa diện (H1 ), (H2 ) để tạo thành khối đa diện (H ). Trong đó (H1 ) là khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a, (H2 ) là khối tứ diện đều cạnh a sao cho một mặt của (H1 ) trùng với một mặt của (H2 ) như hình vẽ. Hỏi khối da diện (H ) có tất cả bao nhiêu mặt? A. 5. B. 7. C. 8. D. 9. Lời giải. Khối đa diện (H ) có đúng 5 mặt. Chọn A. Sai lầm hay gặp: Khối chóp tứ giác đều có 5 mặt. Khối tứ diện đều có 4 mặt. Ghép hai hình lại như hình vẽ ta được khối đa diện (H ) có 8 mặt. 2
3. C. BÀI TẬP NHẬN BIẾT Câu 1. Cho các hình sau: Hình 1 Hình 2 Hình 3 Hình 4 Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), hình đa diện là A. Hình 1. B. Hình 2. C. Hình 3. D. Hình 4. Lời giải. Chọn A. Câu 2. Cho các hình sau: Hình 1 Hình 2 Hình 3 Hình 4 Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), hình không phải đa diện là A. Hình 1. B. Hình 2. C. Hình 3. D. Hình 4. Lời giải. Chọn D. Câu 3. Cho các hình sau: Hình 1 Hình 2 Hình 3 Hình 4 Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số hình đa diện là A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải. Các hình đa diện là: Hình 1; Hình 3; Hình 4. Chọn C. Câu 4. Vật thể nào trong các vật thể sau không phải là khối đa diện? A. B. C. D. Lời giải. Chọn C. Vì hình C vi phạm tính chất '' Mỗi cạnh của miền đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai miền đa giác '' . THÔNG HIỂU Câu 5. Hình đa diện trong hình vẽ bên có bao nhiêu mặt? A. 8. B. 10. C. 11. D. 12. Lời giải. Chọn B. Câu 6.] Hình đa diện trong hình vẽ bên có bao nhiêu mặt? A. 6. B. 10. C. 11. D. 12. Lời giải. Chọn C. 3
4. Câu 7. Hình đa diện trong hình vẽ bên có bao nhiêu mặt? A. 11. B. 12. C. 13. D. 14. Lời giải. Chọn B. Câu 8. Khối đa diện nào sau đây có số mặt nhỏ nhất? A. Khối tứ diện B. Khối chóp tứ C. Khối lập D. Khối 12 mặt đều. giác. phương. đều. Lời giải. Chọn A. Câu 9. Cho hình bát diện đều cạnh a. Gọi S là tổng diện tích tất cả các mặt của hình bát diện đó. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. S = 3 a2. B. S = 2 3 a2. C. S = 4 3 a2. D. S = 8a2 . Lời giải. Hình bát diện đều là hình có tám mặt bằng nhau và mỗi mặt là một tam giác đều. Vậy diện tích a2 3 cần tính S = 8´ = 2 3 a2 . Chọn B. 4 Câu 10. Tính tổng độ dài l của tất cả các cạnh của một tứ diện đều cạnh a. A. l = 4. B. l = 4a. C. l = 6. D. l = 6a. Lời giải. Tứ diện đều có tất cả 6 cạnh nên có tổng độ dài các cạnh là 6a. Chọn D. Câu 11. Số cạnh của hình bát diện đều là A. 12. B. 16. C. 20. D. 22. Lời giải. Chọn A. Câu 12. Hình đa diện trong hình vẽ bên có bao nhiêu cạnh? A. 8. B. 9. C. 12. D. 16. Lời giải. Chọn D. Câu 13. Tính tổng độ dài l của tất cả các cạnh của khối mười hai mặt đều cạnh bằng 2. A. l = 8. B. l = 24. C. l = 30. D. l = 60. Lời giải. Khối mười hai mặt đều có 30 cạnh nên có tổng độ dài tất cả các cạnh bằng l = 30.2 = 60 . Chọn D. Câu 14. Một hình chóp có 2018 cạnh. Hỏi hình chóp đó có bao nhiêu mặt? A. 1010. B. 1014. C. 2017. D. 2019. Lời giải. Hình chóp có 2018 cạnh trong đó có: 1009 cạnh bên và 1009 cạnh đáy Do đó hình chóp có 1009 mặt bên và 1 mặt đáy. Chọn A. Câu 15. Hình lăng trụ có thể có số cạnh là số nào sau đây? A. 2017. B. 2018. C. 2019. D. 2020. 4
5. Lời giải. Giả sử đa giác đáy có n cạnh, khi đó hình lăng trụ có 3n cạnh nên số cạnh hình lăng trụ phải chia hết cho 3. Chọn C. VẬN DỤNG Câu 16. Cho hình đa diện. Trong các mệnh đề sau có bao nhiêu mệnh đề sai? i) Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba cạnh. ii) Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba mặt. iii) Mỗi mặt có ít nhất ba cạnh. iv) Mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất ba mặt. A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải. Chỉ có khẳng định iv) sai. Chọn A. Câu 17. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Tồn tại hình đa diện có số đỉnh và số mặt bằng nhau. B. Số đỉnh và số mặt của một hình đa diện luôn bằng nhau. C. Tồn tại một hình đa diện có số cạnh và số mặt bằng nhau. D. Tồn tại một hình đa diện có số cạnh bằng số đỉnh. Lời giải. Hình tứ diện có số đỉnh bằng số mặt và bằng 4. Chọn A. Câu 18. Một hình đa diện có các mặt là những tam giác. Gọi M là tổng số mặt và C là tổng số cạnh của đa diện đó. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 3C = 2M. B. C = M + 2. C. M ³ C. D. 3M = 2C. Lời giải. Vì mỗi mặt là những tam giác nên có tổng số cạnh là 3M. Mỗi cạnh là cạnh chung của đúng 3M hai mặt nên ta có hệ thức C = Û 3M = 2C. Chọn D. 2 Câu 19. Cho một khối chóp có đáy là đa giác lồi n cạnh. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Số mặt và số đỉnh bằng nhau. B. Số đỉnh của khối chóp bằng 2n + 1. C. Số mặt của khối chóp bằng 2n. D. Số cạnh của khối chóp bằng n + 1. Lời giải. Chọn A. Khối chóp có đáy là đa giác lồi n cạnh nên có: · Số mặt là n + 1 (gồm 1 mặt đáy và n mặt bên). · Số đỉnh là n + 1. · Số cạnh là 2n ( gồm n cạnh bên và n cạnh đáy). Câu 20. Khối đa diện mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của ba mặt thì số đỉnh Ñ và số cạnh C của các khối đa diện đó luôn thỏa mãn A. Ñ = C - 2. B. Ñ ³ C. C. 3Ñ = 2C. D. 3C = 2Ñ. Lời giải. Theo kết quả câu 18, ta có 3M = 2C; kết quả câu 19, ta có Ñ = M. Suy ra 3Ñ = 2C. Chọn C. Câu 21. Hình đa diện nào dưới đây không có tâm đối xứng? D. Lăng trụ lục giác A. Tứ diện đều. B. Bát diện đều. C. Hình lập phương. đều. Lời giải. Chọn A. Câu 22. Hình lập phương có bao nhiêu trục đối xứng? A. 7. B. 9. C. 11. D. 13. Lời giải. · Đường thẳng đi qua hai tâm của hai mặt đối diện ¾ ¾® có 3. · Đường thẳng nối trung điểm hai cạnh đối diện ¾ ¾® có 6. Vậy có tổng cộng: 3+ 6 = 9 trục đối xứng. Chọn B. 5
6. Câu 23. Gọi n1, n2 , n3 lần lượt là số trục đối xứng của khối tứ diện đều, khối chóp tứ giác đều và khối lập phương. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. n1 = 4, n2 = 1, n3 = 9. B. n1 = 0, n2 = 1, n3 = 9. C. n1 = 3, n2 = 1, n3 = 9. D. n1 = 3, n2 = 1, n3 = 13. Lời giải. Khối tứ diện đều có 3 trục đối xứng (đi qua trung điểm của các cặp cạnh đối diện). Khối chóp tứ giác đều có 1 trục đối xứng (đi qua đỉnh và tâm của mặt tứ giác). Khối lập phương có9 trục đối xứng. Chọn C. Câu 24. Hình hộp chữ nhật với kích thước 5´ 5´ 3 có bao nhiêu trục đối xứng? A. 3. B. 5. C. 6. D. 9. Lời giải. · Đường thẳng đi qua hai tâm của hai mặt đối diện ¾ ¾® có 3. · Đường thẳng nối trung điểm hai cạnh đối diện có kích thước là 3 ¾ ¾® có 2. Vậy có tổng cộng: 3+ 2 = 5 trục đối xứng. Chọn B. Câu 25. Hình tứ diện đều có bao nhiêu mặt đối xứng? A. 3. B. 4. C. 6. D. 9. Lời giải. Có 6 mặt (mặt phẳng chứa 1 cạnh và trung điểm cạnh đối diện). Chọn C. Câu 26. Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 2. B. 4. C. 6. D. 8. Lời giải. Chọn B. Hình chóp tứ giác đều có 4 mặt phẳng đối xứng bao gồm: Loại 1: Mặt phẳng đi qua đỉnh hình chóp Loại 2: Mặt phẳng đi qua đỉnh hình chóp và chứa đường trung bình của đáy (có 2 và chứa đường chéo của đáy (có 2 mặt mặt như vậy) như vậy) Câu 27. Số mặt phẳng đối xứng của hình bát diện đều là A. 6. B. 8. C. 9. D. 12. Lời giải. Chọn C. Loại 1: Mặt phẳng đối xứng đi qua 2 đỉnh Loại 2: Mặt phẳng đối xứng đi qua 4 đỉnh đối diện và trung điểm 2 cạnh đối diện đồng phẳng (có 3 mặt). không chứa 2 đỉnh đó (có 6 mặt). Câu 28. Hình lăng trụ tam giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 1. B. 3. C. 4. D. 6. Lời giải. Hình lăng trụ tam giác đều có 3 mặt phẳng đối xứng là 3 mặt phẳng trung trực của 3 cạnh đáy và 1 mặt phẳng đối xứng là mặt phẳng trung trực của cạnh bên. Vậy hình lăng trụ tam giác đều có 4 mặt phẳng đối xứng. Chọn C. 6
7. Câu 29. Hình lập phương có tất cả bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 8. B. 9. C. 10. D. 12. Lời giải. Chọn B. Câu 30. Hình hộp chữ nhật có ba kích thước đôi một khác nhau có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 3. B. 4. C. 6. D. 9. Lời giải. Hình hộp chữ nhật có ba kích thước đôi một khác nhau có các mặt phẳng đối xứng là các mặt các mặt phẳng trung trực của các cặp cạnh đối. Chọn A. PHẦN 2: KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU A. LÝ THUYẾT CƠ BẢN 1. Khối đa diện lồi Khối đa diện (H ) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của (H ) luôn thuộc (H ). Khi đó đa diện giới hạn (H ) được gọi là đa diện lồi. Khối đa diện lồi Khối đa diện không lồi Một khối đa diện là khối đa diện lồi khi và chỉ khi miền trong của nó luôn nằm về một phía đối với mỗi mặt phẳng đi qua một mặt của nó. 2. Khối đa diện đều Chỉ có năm khối đa diện đều. Đó là: 7
8. Loại {3;3} Loại {4;3} Loại {3;4} Loại {5;3} Loại {3;5} Khối tứ diện đều Khối lập phương Bát diện đều Hình 12 mặt đều Hình 20 mặt đều Khối đa diện đều Số đỉnh Số cạnh Số mặt Loại Tứ diện đều 4 6 4 {3;3} Khối lập phương 8 12 6 {4;3} Bát diện đều 6 12 8 {3;4} Mười hai mặt đều 20 30 12 {5;3} Hai mươi mặt đều 12 30 20 {3;5} B. VÍ DỤ ĐIỂN HÌNH Câu 1. Trong không gian chỉ có 5 loại khối đa diện đều như hình vẽ Khối tứ diện Khối lập Hình12 mặt Hình 20 mặt Bát diện đều đều phương đều đều Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Mọi khối đa diện đều có số mặt là những số chia hết cho 4. B. Khối lập phương và khối bát diện đều có cùng số cạnh. C. Khối tứ diện đều và khối bát diện đều có 1 tâm đối xứng. D. Khối mười hai mặt đều và khối hai mươi mặt đều có cùng số đỉnh. Lời giải. · Khối lập phương có 6 mặt. Do đó A sai. · Khối lập phương và khối bát diện đều có cùng số cạnh là 12. Chọn B. · Khối tứ diện đều không có tâm đối xứng. Do đó C sai. · Khối 12 mặt đều có 20 đỉnh. Khối 20 mặt đều có 12 đỉnh. Do đó D sai. Câu 2. Cho khối 20 mặt đều. Biết rằng mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh, mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt. Ta có (p;q) nhận giá trị nào sau đây? A. p = 4;q = 3. B. p = 3;q = 5. C. p = 3;q = 4. D. p = 5;q = 3. Lời giải. Chọn B. Câu 3. Hình bát diện đều thuộc khối đa diện đều nào sau đây? A. {3;4}. B. {3;3}. D. {4;3}. C. {5;3}. Lời giải. Chọn A. Câu 4. Khối đa diện đều loại {3;3} có tên gọi nào dưới đây? A. Khối bát diện đều. B. Khối lập phương. C. Khối 20 mặt đều. D. Khối tứ diện đều. Lời giải. Chọn D. Câu 5. Khối đa diện đều loại {5;3} có tên gọi nào dưới đây? A. Khối 12 mặt đều. B. Khối lập phương. 8
9. C. Khối 20 mặt đều. D. Khối tứ diện đều. Lời giải. Chọn A. C. BÀI TẬP NHẬN BIẾT Câu 1. Cho các hình khối sau: Hình 1 Hình 2 Hình 3 Hình 4 Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), hình không phải đa diện lồi là A. Hình 1. B. Hình 2. C. Hình 3. D. Hình 4. Lời giải. Áp dụng tính chất của khối đa diện lồi (H ): '' Đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của (H ) luôn thuộc (H )'' . Chọn B. Câu 2. Cho các hình khối sau: Hình 1 Hình 2 Hình 3 Hình 4 Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số đa diện lồi là A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải. Có hai khối đa diện lồi là: Hình 1 & Hình 4. Chọn B. THÔNG HIỂU Câu 3. Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của hình nào trong các hình sau đây? A. Tứ diện đều. B. Ngũ giác đều. C. Lục giác đều. D. Bát diện đều. Lời giải. Chọn D. Câu 4. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Tâm các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của một hình lập phương. B. Tâm các mặt của một hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều. C. Tâm các mặt của một hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình lập phương. D. Tâm các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của một hình tứ diện đều. Lời giải. Chọn B. Câu 5. Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều tạo thành A. các đỉnh của một hình tứ diện đều. B. các đỉnh của một hình bát diện đều. C. các đỉnh của một hình mười hai mặt đều. D. các đỉnh của một hình hai mươi mặt đều. Lời giải. Chọn B. 9
10. Câu 6. Mệnh đề nào sau đây sai? A. Tồn tại khối tứ diện là khối đa diện đều. B. Tồn tại khối lặng trụ đều là khối đa diện đều. C. Tồn tại khối hộp là khối đa diện đều. D. Tồn tại khối chóp tứ giác đều là khối đa diện đều. Lời giải. Trong 5 loại khối đa diện đều không tồn tại khối chóp có đáy là tứ giác. Chọn D. VẬN DỤNG Câu 7. Số mặt phẳng đối xứng của khối đa diện đều {4;3} là A. 3. B. 6. C. 8. D. 9. Lời giải. Khối đa diện đều {4;3} là khối lập phương. Số mặt phẳng đối xứng của khối lập phương là 9. Chọn D. Câu 8. Tổng các góc ở đỉnh của tất cả các mặt của khối đa diện đều loại {4;3} là A. 4p. B. 8p. C. 10p. D. 12p. Lời giải. Khối đa diện đều loại {4;3} là khối lập phương, gồm 6 mặt là các hình vuông nên tổng các góc bằng 6.2p = 12p. Chọn D. Câu 9. Tổng các góc ở đỉnh của tất cả các mặt của khối đa diện đều loại {3;5} là A. 12p. B. 16p. C. 20p. D. 24p. Lời giải. Khối đa diện đều loại {3;5} là khối hai mươi mặt đều, gồm 20 mặt là các tam giác đều nên tổng các góc bằng 20.p = 20p. Chọn C. Câu 10. Cho hình đa diện đều loại {4;3} cạnh a. Gọi S là tổng diện tích tất cả các mặt của hình đa diện đó. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. S = 4 a2 . B. S = 6 a2 . C. S = 8a2 . D. S = 10a2 . Lời giải. Đa diện đều loại {4;3} là khối lập phương nên có 6 mặt là các hình vuông cạnh a. Vậy hình lập phương có tổng diện tích tất cả các mặt là S = 6a2 . Chọn B. PHẦN 3: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN A. LÝ THUYẾT CƠ BẢN THỂ TÍCH KHỐI CHÓP – KHỐI LĂNG TRỤ 1 1 1. Thể tích khối chóp V = ×S . chiÒu cao = ×S . d(đØnh; mÆt ph¼ng ®¸y) chãp 3 đ¸y 3 đ¸y 2. Thể tích khối lăng trụ Vl¨ng trô = Sđ¸y . chiÒu cao g Thể tích khối lập phương V = a3 g Thể tích khối hộp chữ nhật V = abc c a a b 3. Tỉ số thể tích 10 S A¢ C ¢ B ¢ C A B
11. g Cho khối chóp S.ABC, trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm A¢, B¢, C ¢ khác S. Khi đó ta luôn có tỉ số thể V SA¢ SB¢ SC ¢ tích: S.A¢B ¢C ¢ = × × × VS.ABC SA SB SC g Ngoài những cách tính thể tích trên, ta còn phương pháp chia nhỏ khối đa diện thành những đa diện nhỏ mà dễ dàng tính toán. Sau đó cộng lại. g Ta thường dùng tỉ số thể tích khi điểm chia đoạn theo tỉ lệ. 4. Tính chất của hình chóp đều g Đáy là đa giác đều (hình chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều, hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông). g Chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy g Các mặt bên là những tam giác cân và bằng nhau. g Góc giữa các cạnh bên và mặt đáy đều bằng nhau. g Góc giữa các mặt bên và mặt đáy đều bằng nhau. 5. Tứ diện đều và bát diện đều: g Tứ diện đều là hình chóp có tất cả các mặt là những tam giác đều bằng nhau. g Bát diện đều là hình gồm hai hình chóp tứ giác đều ghép trùng khít hai đáy với nhau. Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của bốn tam giác đều. Tám mặt là các tam giác đều và bằng nhau. Nếu nối trung điểm của hình tứ diện đều hoặc tâm các mặt của hình lập phương ta sẽ thu được một hình bát diện đều. 6. Hình lăng trụ đứng và hình lăng trụ đều: g Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy. Do đó các mặt bên của hình lăng trụ đứng là các hình chữ nhật và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. g Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều. XÁC ĐỊNH CHIỀU CAO THƯỜNG GẶP a) Hình chóp có một cạnh Ví dụ: Hình chóp S.ABC có cạnh bên S bên vuông góc với đáy: SA vuông góc với mặt phẳng đáy, tức Chiều cao của hình chóp là SA ^ (ABC) thì chiều cao của hình độ dài cạnh bên vuông góc chóp là SA. A C với đáy. B 11
12. b) Hình chóp có 1 mặt bên Ví dụ: Hình chóp S.ABCD có mặt S vuông góc với mặt đáy: bên (SAB) vuông góc với mặt phẳng Chiều cao của hình chóp là đáy (ABCD) thì chiều cao của hình chiều cao của tam giác chứa A chóp là SH là chiều cao của DSAB. D trong mặt bên vuông góc với H đáy. B C c) Hình chóp có 2 mặt bên Ví dụ: Hình chóp S.ABCD có hai S vuông góc với mặt đáy: mặt bên (SAB) và (SAD) cùng Chiều cao của hình chóp là vuông góc với mặt đáy (ABCD) thì giao tuyến của hai mặt bên chiều cao của hình chóp là SA. D cùng vuông góc với mặt A phẳng đáy. B C d) Hình chóp đều: Ví dụ: Hình chóp đều Chiều cao của hình chóp là S.ABCD có tâm đa giác đáy S đoạn thẳng nối đỉnh và tâm là giao điểm của hai đường của đáy. Đối với hình chóp chéo hình vuông ABCD thì đều đáy là tam giác thì tâm có đường cao là SO. là trọng tâm G của tam giác A D đều. O B C DIỆN TÍCH CỦA MỘT SỐ HÌNH THƯỜNG GẶP ￿ Diện tích tam giác thường: Cho tam giác ABC và đặt AB = c, BC = a, CA = b và a + b+ c p = : nửa chu vi. Gọi R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam 2 giác ABC. Khi đó: 1 1 1 = a.h = b.h = c.h A 2 a 2 b 2 c 1 1 1 = absinC = bc sin A = ac sin B g SDABC = 2 2 2 abc c r b = = p.r h 4R a = p(p - a)(p - b)(p - c), (Héron) R B C H a 1 g S = ×(tích hai cạnh góc vuông). tam gi¸c vu«ng 2 (c¹nh huyÒn)2 g S = × tam gi¸c vu«ng c©n 4 (c¹nh)2. 3 c¹nh. 3 g S = Þ ChiÒu cao tam gi¸c ®Òu = × tam gi¸c ®Òu 4 2 2 ￿ Shình chữ nhật = dài ´ rộng và Shình vuông = (cạnh) . (®¸y lín + ®¸y bÐ)×(chiÒu cao) ￿ S = × h×nh thang 2 TÝch hai ®­êng chÐo TÝch 2 ®­êng chÐo ￿ S = Þ S = × Tø gi¸c cã 2 ®­êng chÐo vu«ng gãc 2 h×nh thoi 2 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông Cho DABC vuông tại A, có AH là đường cao, AM là trung tuyến. Khi đó: 12
13. * BC 2 = AB 2 + AC 2 (Pitago), AH.BC = AB.AC. * AB 2 = BH ×BC AC 2 = CH ×CB. và A 1 1 1 * = + và AH 2 = HB ×HC. AH 2 AB 2 AC 2 * BC = 2AM . 1 1 * S = ×AB ×AC = ×AH ×BC. DABC 2 2 2. Hệ thức lượng trong tam giác thường B H M C Cho DABC và đặt a + b + c AB = c, BC = a, CA = b, p = (nửa chu vi). Gọi R, r lần lượt là bán kính đường tròn 2 ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC. Khi đó: a b c * Định lý hàm sin: = = = 2R. sin A sin B sinC A ì 2 2 2 ï 2 2 2 µ µ b + c - a ï g a = b + c - 2bc cosA Þ cosA = ï 2bc c b ï 2 2 2 ï 2 2 2 µ µ a + c - b * Định lý hàm cos: íï g b = a + c - 2ac cosB Þ cosB = × ï 2ac a ï 2 2 2 B C ï 2 2 2 µ µ a + b - c M ï g c = a + b - 2abcosC Þ cosC = îï 2ab ïì AB 2 + AC 2 BC 2 ï g AM 2 = - ï 2 4 ï BA2 + BC 2 AC 2 * Công thức trung tuyến: íï g BN 2 = - × ï 2 4 ï 2 2 2 ï 2 CA + CB AB ï g CK = - îï 2 4 ïì AM AN MN ï g MN PBC Þ = = = k ï AB AC BC * Định lý Thales: í 2 × S æ ö ï DAMN çAM ÷ 2 ï g = ç ÷ = k ï S çAB ÷ îï DABC è ø B. VÍ DỤ ĐIỂM HÌNH Ví dụ 1. Cho khối chóp có diện tích đáy B 7 và chiều cao h 6 . Thể tích của khối chóp đã cho bằng A. 42 . B. 126. C. 14. D. 56 . Lời giải Chọn C 1 1 Thể tích của khối chóp là V .B.h .7.6 14 . 3 3 Ví dụ 2. Cho khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h . Thể tích V của khối lăng trụ đã cho được tính theo công thức nào dưới đây? 1 4 A. V Bh . B. V Bh . C. V 6Bh . D. V Bh . 3 3 Lời giải Chọn D 13
14. Áp dụng công thức tính thể tích khối lăng trụ ta có V Bh . Ví dụ 3. Cho khối chóp đều S.ABCD có AC 4a , hai mặt phẳng SAB và SCD vuông góc với nhau. Thể tích khối chóp đã cho bằng 16 2 8 2 16 A. a3 . B. a3 . C. 16a3 . D. a3 . 3 3 3 Lời giải Chọn B Gọi O là tâm của hình vuông ABCD . Do S.ABCD là hình chóp đều nên SO  ABCD SO  AB . Ta có: S là một điểm chung của hai mặt phẳng SAB và SCD . AB  SAB ; CD  SCD ; AB / /CD . Suy ra hai mặt phẳng SAB và SCD cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng đi qua S , song song với AB và CD . Gọi H ; K lần lượt là trung điểm của AB và CD HK đi qua O và HK  AB . SO  AB Ta có: AB  SHK  SHK (Do / / AB ). HK  AB · SAB ; SCD ·SH ;SK 90 SH  SK Tam giác SHK vuông tại S . AC 1 1 AB 2 2a ; SO HK AB a 2 . 2 2 2 2 2 SABCD AB 8a . 1 1 8 2 Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là: V SO.S a 2.8a2 a3 . S.ABCD 3 ABCD 3 3 Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB a và AD 2a , cạnh bên SA vuông góc với đáy. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD biết góc giữa hai mặt phẳng SBD và ABCD bằng 600 . a3 15 a3 15 4a3 15 a3 15 A. V B. V C. V D. V 15 6 15 3 Lời giải Chọn C 14
15. Kẻ AE  BD ·SBD , ABCD S· EA 600 Xét ABD vuông tại A AD.AB 2a2 2a 5 AE AD2 AB2 a 5 5 Xét SAE vuông tại A 2a 5 2a 15 SA AE.tan 600 . 3 5 5 Khi đó thể tích S.ABCD 1 1 2a 15 4a3 15 V SA.S . .2a2 3 ABCD 3 5 15 Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, SA  ABC . Mặt phẳng SBC cách 0 A một khoảng bằng a và hợp với mặt phẳng ABC góc 30 . Thể tích của khối chóp S.ABC bằng 8a3 8a3 3a3 4a3 A. . B. . C. . D. . 9 3 12 9 Lời giải S H A C 300 I B Gọi I là trung điểm sủa BC suy ra góc giữa mp SBC và mp ABC là S¶IA 300 . H là hình chiếu vuông góc của A trên SI suy ra d A, SBC AH a . AH Xét tam giác AHI vuông tại H suy ra AI 2a . sin300 3 4a Giả sử tam giác đều ABC có cạnh bằng x , mà AI là đường cao suy ra 2a x x 2 3 2 4a 3 4a2 3 Diện tích tam giác đều ABC là SABC . . 3 4 3 2a Xét tam giác SAI vuông tại A suy ra SA AI.tan300 . 3 1 1 4a2 3 2a 8a3 Vậy V .S .SA . . . S.ABC 3 ABC 3 3 3 9 C. BÀI TẬP – PHẦN KHỐI CHÓP NHẬN BIẾT Câu 1. Một khối chóp có diện tích đáy bằng 6 và chiều cao bằng 5 . Thể tích của khối chóp đó bằng A. 10. B. 30 . C. 90 . D. 15. Lời giải Chọn A 15
16. 1 1 Thể tích của khối chóp: V B.h .6.5 10 (đvtt). 3 3 Câu 2. Cho khối chóp có diện tích đáy B 3 và chiều cao h 4 . Thể tích của khối chóp đã cho bằng A. 6 . B. 12. C. 36 . D. 4 . Lời giải Chọn D 1 1 Ta có công thức thể tích khối chóp V .B.h .3.4 4 . 3 3 Câu 3. Cho khối chóp có diện tích đáy B 6 và chiều cao h 2 . Thể tích của khối chóp đã cho bằng: A. 6 . B. 3 . C. 4 . D. 12. Lời giải Chọn C 1 Thể tích của khối chóp V Bh 4 3 Câu 4. Cho khối chóp có diện tích đáy B 3 và chiều cao h 2 . Thể tích khối chóp đã cho bằng A. .6 B. . 12 C. . 2 D. . 3 Lời giải Chọn C 1 1 Thể tích khối chóp đã cho là V Bh .3.2 2 . 3 3 Câu 5. Cho khối chóp có diện tích đáy B 6a2 và chiều cao h 2a . Thể tích khối chóp đã cho bằng: A. 2a3 . B. 4a3 . C. 6a3 . D. 12a3 . Lời giải Chọn B 1 1 V B.h 6a2.2a 4a3 3 3 Câu 6. Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, SA 4 , AB 6 , BC 10 và CA 8 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABC . A. V 32 B. V 192 C. V 40 D. V 24 Lời giải Chọn A S C A B 1 Ta có BC2 AB2 AC2 suy ra ABC vuông tại A . S 24 , V S .SA 32 ABC 3 ABC Câu 7. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Biết SA  ABC và SA a 3 . Tính thể tích khối chóp S.ABC . a a3 a3 3a3 A. B. C. D. 4 2 4 4 Lời giải Chọn C 16
17. S a 3 a A C a a B Ta có SA là đường cao hình chóp a2 3 Tam giác ABC đều cạnh a nên S ABC 4 1 a2 3 a3 Vậy thể tích cần tìm là: V . .a 3 . S.ABC 3 4 4 Câu 8. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Cạnh bên SC vuông góc với mặt phẳng ABC , SC a . Thể tích khối chóp S.ABC bằng a3 3 a3 2 a3 3 a3 3 A. B. C. D. 3 12 9 12 Lời giải Chọn D a2 3 1 a2 3 a3 3 S V .a. . ABC 4 S.ABC 3 4 12 Câu 9. Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB a, AC 2a, SA  ABC và SA a . Thể tích của khối chóp đã cho bằng a3 3 a3 3 a 3 2a3 A. . B. . C. . D. . 3 6 3 3 Lời giải S A C B Ta có BC 2 AC 2 AB2 3a2 BC a 3 . 1 1 1 1 a3 3 Vậy V S .SA . AB.BC.SA .a.a 3.a . S.ABC 3 ABC 3 2 6 6 Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB 3a và AD 4a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng ABCD và SA a 2 . Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng 17
18. 4 2a3 2 2a3 A. 4 2a3 . B. 12 2a3 . C. . D. . 3 3 Lời giải Chọn A Diện tích đáy hình chữ nhật là S AB  AD 3a 4a 12a2 (đvdt) 1 1 Thể tích của hình chóp có đáy hình chữ nhật là V Sh 12a2 a 2 4 2a3 . 3 3 THÔNG HIỂU Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a 2. Thể tích của khối chóp đã cho bằng a3 2 a3 2 a3 2 A. a3 2. B. . C. . D. . 3 4 6 2 Lời giải. Diện tích hình vuông: SABCD = a . Chiều cao khối chóp: SA = a 2. 1 a3 2 Vậy thể tích khối chóp: V = S .SA = . S.ABCD 3 ABCD 3 Chọn B. Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, BC = 2a. Hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy (ABCD), cạnh SA = a 15. Thể tích của khối chóp đã cho bằng a3 15 2a3 15 2a3 15 A. 2a3 15. B. . C. . D. . 3 3 6 Lời giải. Vì hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với (ABCD), suy ra giao tuyến SA vuông góc với (ABCD). Do đó chiều cao khối chóp là: SA = a 15. 2 Diện tích hình chữ nhật: SABCD = AB.BC = 2a . 1 2a3 15 Vậy thể tích khối chóp: V = S .SA = . Chọn C. S.ABCD 3 ABCD 3 Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy mặt phẳng đáy và SC = a 5. Thể tích của khối chóp đã cho bằng a3 3 a3 15 a3 3 A. a3 3. B. . C. . D. . 3 3 6 Lời giải. Đường chéo hình vuông: AC = a 2. Xét tam giác SAC, ta có SA = SC 2 - AC 2 = a 3. Chiều cao khối chóp: SA = a 3. 2 Diện tích hình vuông: SABCD = a . 1 a3 3 Vậy thể tích khối chóp: V = S .SA = . Chọn B. S.ABCD 3 ABCD 3 18
19. Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = 3a, BC = a. Cạnh bên SD vuông góc với mặt phẳng đáy và SD = 2a. Thể tích của khối chóp đã cho bằng A. a3. B. 2a3. C. 3a3. D. 6a3. Lời giải. Chiều cao khối chóp: SD = 2a. 2 Diện tích hình chữ nhật: SABCD = AB.BC = 3a . 1 Vậy thể tích khối chóp: V = S .SD = 2a3. Chọn B. S.ABCD 3 ABCD Câu 5. Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt đáy, SA = 4, AB = 6, BC = 10 và CA = 8 . Thể tích của khối chóp đã cho bằng A. 24. B. 32. C. 40. D. 192. Lời giải. Tam giác ABC, có AB 2 + AC 2 = 62 + 82 = 102 = BC 2 1 ¾ ¾® tam giác ABC vuông tại A nên S = AB.AC = 24. DABC 2 1 Vậy thể tích khối chóp: V = S .SA = 32. Chọn B. S.ABC 3 DABC Câu 6. Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, AB = a, AC = 2a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a. Thể tích của khối chóp đã cho bằng a3 3a3 2a3 3a3 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 6 Lời giải. Chiều cao của khối chóp: SA = a. Ta có BC = AC 2 - AB2 = 4a2 - a2 = a 3. 1 a2 3 Diện tích mặt đáy: S = AB.BC = . ABC 2 2 1 a3 3 Vậy thể tích khối chóp: V = S .SA = . Chọn D. 3 DABC 6 Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = 1, AD = 2. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = 2. Thể tích khối chóp đã cho bằng 1 A. . B. 1. C. 2. D. 3. 3 Lời giải. Chiều cao khối chóp: SA = 2. æ ö çAD + BC ÷ 3 Diện tích hình thang: SABCD = ç ÷.AB = . èç 2 ø÷ 2 1 Vậy thể tích khối chóp: V = S .SA = 1. Chọn B. S.ABCD 3 ABCD Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc S·BD = 600. Thể tích khối chóp đã cho bằng a3 3 a3 2a3 A. a3. B. . C. . D. . 2 3 3 Lời giải. Ta có DSAB = DSAD, suy ra SB = SD. Hơn nữa, theo giả thiết S·BD = 60°. Do đó tam giác SBD đều cạnh bằng SB = SD = BD = a 2. Chiều cao khối chóp: SA = SB2 - AB2 = a. 2 Diện tích hình vuông: SABCD = a . 1 a3 Vậy thể tích khối chóp: V = S .SA = . Chọn C. S.ABCD 3 ABCD 3 19
20. Câu 9. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a và thể tích khối chóp bằng a3. Chiều cao của hình chóp đã cho bằng a 3 a 3 a 3 A. a 3. B. . C. . D. . 2 3 6 2 Lời giải. Tam giác ABC đều cạnh 2a ¾ ¾® SDABC = a 3. 1 3.V 3a3 Ta có: V = S .h ¾ ¾® h = S.ABC = = a 3. Chọn A. S.ABC DABC 2 3 SDABC a 3 Câu 10. Cho hình chóp S.ABC có tam giác SBC là tam giác vuông cân tại S, SB = 2a và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC ) bằng 3a. Thể tích khối chóp đã cho bằng A. 2a3. B. 4a3. C. 6a3. D. 12a3. é ù Lời giải. Chọn (SBC ) làm mặt đáy ¾ ¾® chiều cao khối chóp: h = d ëA,(SBC )û= 3a. 1 Tam giác SBC vuông cân tại S nên S = SB 2 = 2a2 . DSBC 2 1 Vậy thể tích khối chóp: V = S .d éA,(SBC )ù= 2a3. Chọn A. 3 DSBC ë û Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Thể tích của khối chóp đã cho bằng a3 a3 3 a3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 2 2 6 6 Lời giải. Chọn D. Gọi I là trung điểm AB Þ SI ^ AB. Từ giả thiết suy ra SI ^ (ABCD) nên chiều cao khối chóp a 3 là: SI = (do tam giác SAB đều cạnh a ). 2 2 Diện tích hình vuông: SABCD = a . 1 a3 3 Vậy thể tích khối chóp: V = S .SI = . S.ABCD 3 ABCD 6 Câu 12. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, cạnh bên SA = 2a. Thể tích của khối chóp đã cho bằng 2a3 a3 15 a3 15 A. 2a3. B. . C. . D. . 3 6 12 Lời giải. Chọn C. Gọi I là trung điểm AB Þ SI ^ AB. Từ giả thiết suy ra SI ^ (ABCD) nên chiều cao khối chóp 2 2 2 2 æAB ö a 15 là: SI = SA - IA = SA - ç ÷ = . èç 2 ø÷ 2 2 Diện tích hình vuông: SABCD = a . 1 a3 15 Vậy thể tích khối chóp: V = S .SI = . S.ABCD 3 ABCD 6 Câu 13. Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Thể tích của khối chóp đã cho bằng 11 a3 11 a3 11 a3 13 a3 A. . B. . C. . D. . 4 6 12 12 Lời giải. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Vì S.ABC là khối chóp đều nên suy ra SI ^ (ABC). 20