Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 12 - Chủ đề 4: Số phức - Trường THPT An Lão

Nội dung text: Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 12 - Chủ đề 4: Số phức - Trường THPT An Lão

1. CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2023 Trường soạn : THPT Toàn Thắng Số điện thoại TTCM : 0972742624 Trường phản biện : THPT An Lão Số điện thoại TTCM : CHỦ ĐỀ 4: SỐ PHỨC PHẦN 1: TÌM PHẦN THỰC, PHẦN ẢO CỦA SỐ PHỨC PHẦN 2: PHƯƠNG TRÌNH TRONG TẬP SỐ PHỨC PHẦN 3: TẬP HỢP ĐIỂM – MAX, MIN CỦA MÔĐUN SỐ PHỨC PHẦN 1. TÌM PHẦN THỰC, PHẦN ẢO CỦA SỐ PHỨC A. LÝ THUYẾT CƠ BẢN 1. Định nghĩa. • Đơn vị ảo : Số i mà i2 1 được gọi là đơn vị ảo. • Số phức z a bi với a,b ¡ . Gọi a là phần thực, b là phần ảo của số phức z . • Tập số phức £ a bi / a,b ¡ ;i2 1 . Tập số thực ¡ là tập con của tập số phức £ . a c • Hai số phức bằng nhau: a bi c di với a,b,c,d ¡ . b d  Đặc biệt:  Khi phần ảo b 0 z a ¡ z là số thực,  Khi phần thực a 0 z bi z là số thuần ảo,  Số 0 0 0i vừa là số thực, vừa là số ảo. 2. Môđun của số phứC. • z a bi a2 b2 được gọi là môđun của số phức z . • Kết quả: z, z1, z2 £ ta có: z 0; z 0 z 0; z2 z 2 z1.z2 z1 . z2 z1 z1 z2 0 z2 z2 3. Số phức liên hợp. • Cho số phức z a bi . Ta gọi số phức liên hợp của z là z a bi . • Kết quả: z, z1, z2 £ ta có: z z; z z z1 z2 z1 z2 z1 z1 z1.z2 z1.z2 z2 0 z2 z2 z là số thực z z z là số thuần ảo z z 4. Phép toán trên tập số phức: Cho hai số phức z1 a bi và z2 c di thì: 1
2. • Phép cộng số phức: z1 z2 a c b d i • Phép trừ số phức: z1 z2 a c b d i  Mọi số phức z a bi thì số đối của z là z a bi : z z z z 0 • Phép nhân số phức: z1.z2 ac bd ad bc i i4k 1 i4k 1 i  Chú ý 4k 2 i 1 4k 3 i i • Phép chia số phức: 1 z 1  Số phức nghịch đảo của z a bi 0 :  z z z 2 a2 b2 z z .z ac bd bc ad  1 1 2 i (với z 0 ). z 2 c2 d 2 c2 d 2 2 2 z2 B. VÍ DỤ ĐIỂN HÌNH Để tìm phần thực, phần ảo của một số phức ta đưa số phức đó về dạng đại số. VÍ DỤ 1. Tìm phần thực phần ảo của mỗi số phức sau a. z = (2 + 4i )(3- 5i )+ 7(4 - 3i ) 2 b. z = (1- 2i ) - (2- 3i )(3 + 2i ) 3 - i 2 + i c. z = - 1+ i i Bài giải a. z = (26 + 2i )+ (28 - 21i )= 54 - 19i . Vậy phần thực của z là 54, phần ảo của z là -19. b. z = (- 3- 4i )- (12- 5i )= - 15 + i . Vậy phần thực của z là -15, phần ảo của z là 1. ( 3 - i )(1- i ) 3 - 1 3 + 1 c.z = - 1- 2i = - i - 1- 2i 2 ( ) 2 2 ( ) 3 - 3 2 2 - 3 - 1 = + i 2 2 3 - 3 2 2 - 3 - 1 Vậy phần thực của z là , phần ảo của z là 2 2 VÍ DỤ 2. Tìm phần thực, phần ảo của mỗi số phức sau 10 a. z = (1+ i ) 2 20 b. z = 1+ (1+ i )+ (1+ i ) + ... + (1+ i ) Bài giải 2 10 5 a. Ta có (1+ i ) = 2i suy ra (1+ i ) = (2i ) = 32i Vậy phần thực của z là 0, phần ảo của z là 32. 2
3. b. Nhận thấy z là tổng của 21 số hạng đầu của một cấp số nhân với số hạng đầu là 1, công bội là (1+ i ). Suy ra: 10 2 21 é ù 10 1- ê1+ i ú . 1+ i 10 10 1- (1+ i ) ê( ) ú ( ) 1- (2i ) (1+ i ) 2 + 1+ 2 i z = = ë û = = 1- (1+ i ) - i - i - i = - 210 + (210 + 1)i . Vậy phần thực của z là - 210 , phần ảo của z là 210 + 1 10 VÍ DỤ 3. Tìm phần thực, phần ảo của số phức z = ( 3 + i ) Bài giải 3 æ 3ö 3 Ta có z = ç 3 + i ÷ . 3 + i = (8i ) . 3 + i = 29 - 29 3i èç( ) ø÷ ( ) ( ) Vậy phần thực của z là 29 , phần ảo của z là - 29 3 . 10 ( 3 + i ) VÍ DỤ 4. Tìm phần thực, phần ảo của số phức z = 5 ( 3 - i ) Bài giải 10 ( 3 + i ) 29 (1- 3i )( 3 - i ) Ta có z = = = 25i . Vậy phần thực của z là 0, phần ảo của z là 25 . 5 2 æ 3ö ( 3 - i ) ç 3 - i ÷ èç( ) ø÷ VÍ DỤ 5. Tìm phần thực phần ảo của số phức z biết z = 5 và (z - 3)i Î ¡ . Bài giải Giả sử z x yi , (x;y Î ¡ ). Ta có ïì z = 5 ïì x 2 + y2 = 25 ì ï ï ï x = 3 íï Û íï Û í ï z - 3 i Î ¡ ï z - 3 i = (x - yi - 3)i = y + (x - 3)i Î ¡ ï y = ± 4 îï ( ) îï ( ) îï VÍ DỤ 6. Tìm số phức z thỏa mãn z = 2 và z2 là số ảo. Bài giải Giả sử số phức z đó là z = x + yi,(x,y Î ¡ ) é êx = y = 1 ê êx = y = - 1 ì 2 2 êì ï x + y = 2 êï x = 1 Từ giả thiết ta có hệ phương trình íï Û êí ï x 2 - y2 = 0 êï y = - 1 îï êîï ì êï x = - 1 êí êï y = 1 ëêîï Vậy có 4 số phức z thoả mãn là 1+ i;- 1- i;1- i;- 1+ i . 3
4. 2 VÍ DỤ 7. Cho số phức z thỏa mãn (2- 3i )z + (4 + i )z = - (1+ 3i ) . Tìm phần thực và phần ảo của số phức z . Bài giải Giả sử số phức z x yi, x, y ¡ Þ z = x - yi . ì ì 2 ï 6x + 4y = 8 ï x = - 2 Suy ra 2- 3i z + 4 + i z = - 1+ 3i Û í Û í . ( ) ( ) ( ) ï - 2x - 2y = - 6 ï y = 5 îï îï Vậy phần thực, phần ảo của số phức z lần lượt là -2, 5. VÍ DỤ 8. Tìm số phức z thỏa mãn z2 = 16 + 30i . Bài giải Giả sử z = x + yi,(x,y Î ¡ ) ì 2 2 é 2 ï x - y = 16 x = 5,y = 3 Ta có (x + yi ) = 16 + 30i Û íï Û ê . ï 2xy = 30 êx = - 5,y = - 3 îï ëê Vậy có hai căn bậc hai của số phức 16 + 30i là 5 + 3i;- 5- 3i . C. BÀI TẬP NHẬN BIẾT Câu 1. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. Môđun của số phức z là một số âm. B. Môđun của số phức z là một số thực. C. Môđun của số phức z a bi là z a2 b2 . D. Môđun của số phức z là một số thực không âm. Câu 2. Cho số phức z 5 4i . Môđun của số phức z là A. 3.B. 41 .C. 1.D. 9. Câu 3. Cho số phức z 5 4i . Số phức đối của z có tọa độ điểm biểu diễn là A. 5;4 .B. 5; 4 . C. 5; 4 .D. 5;4 . Câu 4. Cho số phức z 6 7i . Số phức liên hợp của z là A. z 6 7i .B. z 6 7i .C. z 6 7i .D. z 6 7i . Câu 5. Các số thực x, y thỏa mãn: 3x y 5xi 2y 1 x y i là 1 4 2 4 A. x; y ; .B. x; y ; . 7 7 7 7 1 4 1 4 C. x; y ; . D. x; y ; . 7 7 7 7 Câu 6. Cho hai số phức z1 1 2i và z2 2 3i . Khẳng định nào sau đây là khẳng định Sai? z2 4 7 5 A. i .B. z2 1 i . z1 5 5 z1 C. z1 z1.z2 9 i .D. z1.z2 65 . Câu 7. Cho hai số phức z1 1 2i và z2 2 3i . Phần ảo của số phức w 3z1 2z2 là 4
5. A. 12.B. 11.C. 1.D. 12i . Câu 8. Cho số phức z 4 3i . Phần thực, phần ảo của số phức z lần lượt là A. 4; 3.B. 4;3 . C. 4;3.D. 4; 3 . Câu 9. Điểm M 1;3 là điểm biểu diễn của số phức A. z 1 3i .B. z 1 3i .C. z 2i .D. z 2 . 7 17i Câu 10. Số phức z có phần thực là 5 i 9 A. 2.B. .C. 3.D. 3 . 13 Câu 11. Các số thực x, y thỏa mãn: 2x 3y 1 x 2y i 3x 2y 2 4x y 3 i là 9 4 9 4 A. x; y ; .B. x; y ; . 11 11 11 11 9 4 9 4 C. x; y ; .D. x; y ; . 11 11 11 11 Câu 12. Cho hai số thực x, y thỏa mãn 2x 1 1 2y i 2 2 i yi x khi đó giá trị của x2 3xy y bằng: A. 1.B. 1.C. 2 .D. 3 . Câu 13. Cho số phức z 3 4i . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. Điểm biểu diễn của z là M 4;3 . B. Môđun của số phức z là 5. C. Số phức đối của z là 3 4i . D. Số phức liên hợp của z là 3 4i . Câu 14. Số nào trong các số phức sau là số thuần ảo? A. 7 i 7 i .B. 10 i 10 i . C. 5 i 7 5 i 7 .D. 3 i 3 i . Câu 15. Môđun của số phức z 3 i là A. 3 .B. 1. C. 2. D. 2 . Câu 16. Phần thực của z 2 3i i là A. 3 .B. 2.C. 3.D. 2 . Câu 17. Cho hai số phức z1 1 i và z2 5 2i . Tính môđun của số phức z1 z2 . A. 5.B. 5 .C. 7 .D. 7 . Câu 18. Cho số phức z 1 i . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? z A. 1 i .B. z 1.z 0 . C. z 2.D. z2 2i . i Câu 19. Cho số phức z 1 6i 2 4i . Phần thực, phần ảo của z lần lượt là A. 1; 2 .B. 1;2 .C. 2;1.D. – 2;1. Câu 20. Cho số phức z 2 5i . Tìm số phức w iz z . 5
6. A. w 7 3i .B. w 3 3i .C. w 3 3i .D. w 7 7i . THÔNG HIỂU Câu 21. Cho số phức z 3 2i 1 i 2 . Môđun của w iz z là A.2.B. 2 2 .C. 1.D. 2 . 5 Câu 22. Phần thực, phần ảo của số phức z thỏa mãn z 3i lần lượt là 1 2i A. 1;1. B. 1; 2 .C. 1;2.D. 1; 1. 1 i Câu 23. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2 i z 5 i . Môđun của số phức w 1 2z z2 có 1 i giá trị là A. 10.B. 10 .C. 100.D. 100 . Câu 24. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: 1 i z 1 3i 0. Phần ảo của số phức w 1 iz z là A. 1.B. 3 .C. 2 .D. 1. Câu 25. Cho số phức z thỏa mãn: 3z 2z 4 i 2 . Môđun của số phức z là A. 73 .B. 73 .C. 73.D. 73 . Câu 26.Số phức z thỏa mãn: z 2 3i z 1 9i là A. 2 i .B. 2 i .C. 3 i .D. 2 i V￿N D￿NG – V￿N D￿NG CAO Câu 27. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z 2 và z2 là số thuần ảo ? A. 4. B. 3. C. 2.D. 1. Hướng dẫn giải Gọi z a bi a,b ¡ . Ta có z a2 b2 và z2 a2 b2 2abi a2 b2 2 a2 1 a 1 Yêu cầu của bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi 2 2 2 a b 0 b 1 b 1 Vậy có 4 số phức thỏa mãn điều kiện bài toán Vậy chọn đáp án A. 2 2 2 2 z z z z Câu 28. Cho 2 số phức z ; z với z x yi , x, y ¡ . 1 z.z 1 2 z.z 1 Mệnh đề nào sau đây đúng? A. z1 và z2 là số thuần ảo.B. z2 là số thuần ảo. C. z1 là số thuần ảo. D. z1 và z2 là số thựC. Hướng dẫn giải Ta có: z x yi z2 x2 y2 2xyi 2 z x yi z x2 y2 2xyi 6
7. z.z x2 y2 2 2 4xyi 2 x y Khi đó : z ; z 1 x2 y2 1 1 x2 y2 1 Suy ra z1 là số thuần ảo, z2 là số thuần thựC. Vậy chọn đáp án C. z 1 z i Câu 29. Có bao nhiêu số phức z thỏa 1 và 1 i z 2 z A. 1.B. 2.C. 3. D. 4. Hướng dẫn giải z 1 3 1 x i z z 1 i z x y 2 3 3 Ta có : z i z i z i 2 z 4x 2y 3 3 2 2 1 y 2 z 2 Vậy chọn đáp án A. Câu 30. Tìm tất cả số phức z thỏa z2 z 2 z 1 1 1 1 1 1 1 1 A. z 0, z i, z i .B. z 0, z i, z i . 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 C. z 0, z 1 i, z 1 i .D. z 0, z i, z i . 2 2 4 4 4 4 Hướng dẫn giải Đặt z x yi, x, y ¡ z x yi 1 1 2 x x 2 2 2 2y x 0 x 0 2 2 Ta có: z z z 2y x (2xy y)i 0   2xy y 0 y 0 1 1 y y 2 2 1 1 1 1 z 0, z i, z i 2 2 2 2 Vậy chọn đáp án A. 2 Câu 31. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn: z 2 z 26 và z z 6 A. 2.B. 3.C. 2. D. 1. Hướng dẫn giải 2 2 Đặt z x iy (x, y ¡ ) , ta có z x yi, z z x2 y2 Ta có: 2 2 2 2 z z 26 x y 13 x 3 x 3 y 2 z z 6 có 2 số phức thỏa yêu cầu đề bài. Vậy chọn đáp án A. z 3979 Câu 32. Tìm phần thực, phần ảo của số phức z thỏa i 1 i (1 i) 2 A.Phần thực là 21990 và phần ảo là 2 . B. Phần thực là 21990 và phần ảo là 2 . C.Phần thực là 21989 và phần ảo là 1. D.Phần thực là 21989 và phần ảo là 1. Hướng dẫn giải 7
8. 3980 z 3979 z (1 i) z 1989 1990 1990 Ta có: i 1 i (1 i) i i 2 .i z 2 2i 2 2 2 2 Vậy chọn đáp án B. Câu 33. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 4i z 2i . Số phức z có môđun nhỏ nhất là? A. z 2 2i . B. z 2 2i . C. z 2 2i .D. . z 2 2i Hướng dẫn giải Gọi z x yi x, y ¡ . Ta có x 2 4 y 4 i x y 2 x y x 4 Do đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng có phương trình x y 4 0 Mặt khác z x2 y2 x2 x2 8x 16 2x2 8x 16 2 Hay z 2 x 2 8 2 2 . Vậy z x 2 y 2 . Vậy z 2 2i min Vậy chọn đáp án C. Câu 34. Cho số phức z thỏa z 1 i i2 i3 ... i2016 . Khi đó phần thực và phần ảo của z lần lượt là A. 0 và 1.B. 0 và 1.C. 1 và 1. D. 1 và 0. Hướng dẫn giải 1 i2016 z 1 i 1. 1 i Vậy chọn đáp án D. Câu 35. Giá trị của biểu thức 1 i2 i4 ... i4k ,k ¥ * là A. 1.B. 0.C. 2ik .D. ik . Hướng dẫn giải 2n 2n 2 2n 2 * i i i (1 i ) 0,n ¥ . Áp dụng tính được giá trị bằng 1. Vậy chọn đáp án A. Câu 36. Số phức z 1 i 1 i 2 1 i 3 ... 1 i 20 là số phức nào sau đây? A. 1025 1025i .B. 1025 1025i . C. 1025 1025i .D. 1025 1025i . Hướng dẫn giải 1 1 i 20 z 1 i 1025 1025i . 1 1 i Vậy chọn đáp án C. Câu 37. Cho số phức z 1 i2 i4 ... i2n ... i2016 ,n ¥ . Môđun của z bằng? A. 2.B. 1.C. 1008.D. 2016. Hướng dẫn giải 1008 1 i2 z 1 i2 1 1 i2 Vậy chọn đáp án A. Câu 38. Cho số phức z i i3 i5 i7 ... i2n 1 ... i2017 ,n ¥ . Số phức 1 z là số phức nào sau đây? A. 1 i .B. 1 i .C. i .D. i . Hướng dẫn giải 8
9. z i 1 i2 i4 i6 ... i2016 i 1 z 1 i Vậy chọn đáp án A. 2 2 Câu 39. Cho hai số phức z1, z2 khác 0 thỏa mãn z1 z1z2 z2 0. Gọi A, B lần lượt là các điểm biểu diễn cho số phức z1, z2 . Khi đó tam giác OAB là: A. Tam giác đều. B. Tam giác vuông tại O . C. Tam giác tù.D. Tam giác có một góc bằng 450 . Hướng dẫn giải 3 3 2 2 Ta có z1 z2 (z1 z2 )(z1 z1z2 z2 ) 0 , suy ra: 3 3 3 3 z1 z2 z1 z2 z1 z2 OA OB . Lại có 2 2 2 2 2 2 (z1 z2 ) (z1 z1z2 z2 ) z1z2 z1z2 nên z1 z2 z1 z2 AB OA.OB OA Suy ra A AB OA OB OAB đều. Vậy chọn đáp án A. Câu 40. Cho số phức z 1 1 i 1 i 2 ... 1 i 26 . Phần thực của số phức z là A. 213 .B. (1 213 ) . C. 213 .D. (1 213 ) . Hướng dẫn giải 27 2 26 1 i 1 z 1 1 i 1 i ... 1 i i 26 1 i . 1 i 1 (2i)13 1 i 1 213 i 213 1 213 (1 213 )i i i i Vậy phần thực là 213 Vậy chọn đáp án A. m 4i Câu 41. Cho số phức z , m nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị m 1;100 để z là số thực? i 1 A. 27.B. 26.C. 25. D. 28. Hướng dẫn giải m 4i m m m Ta có: z (8i) 2 8 2 .i 2 i 1 m z là số thực khi và chỉ khi 2k m 4k, k ¥ 2 Vậy có 25 giá trị m thỏa yêu cầu đề bài. Vậy chọn đáp án C. m 2 6i Câu 42. Cho số phức z , m nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị m 1;50 để z là số 3 i thuần ảo? A. 26.B. 25.C. 24. D. 50. Hướng dẫn giải m 2 6i m m m Ta có: z (2i) 2 .i 3 i z là số thuần ảo khi và chỉ khi m 2k 1, k ¥ Vậy có 25 giá trị m thỏa yêu cầu đề bài. Vậy chọn đáp án B. Câu 43. Cho số phức z x iy, x, y ¢ thỏa mãn z3 2 2i . Cặp số (x; y) là A. (2;2) .B. (1;1) . 9
10. C. ( 2 3; 2 3) .D. ( 2 3; 2 3) . Hướng dẫn giải x3 3xy2 2 Ta có (x iy)3 2 2i x3 3xy2 (3x2 y y3 ) 2 3 3x y y 2 x 1 Đặt y tx suy ra t 1 (x; y) (1;1) . Vậy chọn đáp án B. y 1 1 3 Câu 44. Cho biểu thức L 1 z3 z6 ... z2016 với z i . Biểu thức L có giá tri là 2 2 A. 2017.B. 673.C. -1.D. 1. Hướng dẫn giải 1 (z3 )673 1 ( 1)673 L 1. Vậy chọn đáp án D. 1 z3 1 ( 1) 1 2i Câu 45. Cho biểu thức L 1 z z2 z3 ... z2016 z2017 với z . Biểu thức L có giá tri là 2 i 1 1 1 1 A. 1 i .B. 1 i . C. i .D. i . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải 1 2i 1 ( z)2018 1 z2018 1 z2018 1 i2018 Ta có: z i . Khi đó: L 1 i 2 i 1 z 1 z 1 z 1 i Vậy chọn đáp án A. 0 2 4 6 2014 2016 Câu 46. Tính tổng L C2016 C2016 C2016 C2016 ... C2016 C2016 A. 21008 .B. 21008 .C. 22016 .D. 22016 . Hướng dẫn giải 2016 0 1 2 2 3 3 2015 2015 2016 2016 Ta có (1 i) C2016 C2016i C2016i C2016i ... C2016 i C2016 i 2016 0 1 2 2 3 3 2015 2016 2016 2016 (1 i) C2012 C2012i C2012i C2012i ... C2016 i C2016 i 2016 2016 0 2 4 2014 2016 (1 i) (1 i) 2 C2016 C2016 C2016 ... C2016 C2016 2L (1 i)2016 (2i)1008 21008  Mặt khác: L 21008 2016 1008 1008  (1 i) ( 2i) 2  Vậy chọn đáp án A. PHẦN 2: PHƯƠNG TRÌNH TRONG TẬP SỐ PHỨC A. LÝ THUYẾT CƠ BẢN 1. Căn bậc hai của số phức: Cho số phức w . Mỗi số phức z thỏa mãn z2 w được gọi là một căn bậc hai của w . 2. Phương trình bậc hai với hệ số thực Cho phương trình bậc hai ax2 bx c 0 a,b,c ¡ ;a 0 . Xét b2 4ac , ta có b • 0 : phương trình có nghiệm thực x . 2a b • 0 : phương trình có hai nghiệm thực được xác định bởi công thức: x . 1,2 2a 10
11. b i | | • 0 : phương trình có hai nghiệm phức được xác định bởi công thức: x . 1,2 2a  Chú ý. n n 1  Mọi phương trình bậc n : Ao z A1z ... An 1z An 0 luôn có n nghiệm phức (không nhất thiết phân biệt).  Hệ thức Vi–ét đối với phương trình bậc hai với hệ số thực: Cho phương trình bậc hai 2 ax bx c 0 a 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 (thực hoặc phức). Ta có hệ thức Vi–ét b S x x 1 2 a c P x .x 1 2 a KĨ NĂNG SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO 1. Chọn chế độ tính toán với số phức: MODE 2 màn hình hiện CMPLX. Nhập số thuần ảo i : Phím ENG 2. Tìm các căn bậc hai của một số phức Ví dụ 5: Khai căn bậc hai số phức z 3 4i có kết quả: Cách 1: – Mode 2 (CMPLX) – Nhập hàm X 2 – Sử dụng phím CALC, nhập từng giá trị vào, giá trị nào ra kết quả bằng z thì ta nhận. Cách 2: – Mode 1 (COMP) – Nhấn Shift + (Pol), ta nhập Pol 3;4 – Nhấn Shift – (Rec), ta nhập Rec X ,Y : 2 , ta thu được kết quả X 1;Y 2 . – Vậy 2 số phức cần tìm là 1 2i và 1 2i . Trong mục này ta xét việc giải phương trình trong đó ẩn số của mỗi phương trình là một số phức z. Chú ý rằng các phương trình mẫu mực, các phương pháp giải mẫu mực trong phương trình với các hệ số và ẩn số là số thực được chuyển thể nguyên vẹn sang phương trình phức. Điểm khác biệt với phương trình trong tập số thực là phương trình phức bậc n luôn có n nghiệm, tính cả nghiệm bội. Không có trường hợp phương trình vô nghiệm. Sau đây ta xét một số ví dụ cơ bản sau. B. VÍ DỤ ĐIỂN HÌNH Dạng 1. Phương trình bậc nhất và phương trình quy về bậc nhất. VÍ DỤ 1. Giải phương trình sau trên tập số phức: z - i a. 2iz + 1- i = 0 b. = 2i c. (1- 2i )z - 2 + i = 0 z + i Bài giải - (1- i ) 1 1 a. 2iz + 1- i = 0 Û z = = + i . 2i 2 2 ì z - i ï z ¹ - i b. = 2i Û íï z + i ï z - i = 2i z + i îï ( ) ì ì ïì ï z ¹ i ï z ¹ i ï z ¹ - i ï ï Û í Û í - 2 + i Û í 4 3 ï (1- 2i )z = - 2 + i ï z = . ï z = - - i îï îï 1- 2i îï 5 5 11
12. 4 3 Vậy phương trình có nghiệm là z = - - i . 5 5 2- i 4 3 4 3 c. z = Û z = + i. Vậy z = - i. 1- 2i 5 5 5 5 VÍ DỤ 2. Giải các phương trình sau. 2 z i a. z(z + i )- (z - 2i ) = 2iz + 1- i b. - = 0 z2 + 1 iz + 2- 3i Bài giải a. Khai triển vế trái và thu gọn ta đưa phương trình về dạng 2 5- i 1 5 z(z + i )- (z - 2i ) = 2iz + 1- i Û 3iz = 5- i Û z = = - - i . 3i 3 3 1 5 Vậy phương trình có nghiệm là z = - - i . 3 3 b. ĐK: z ¹ ± i,z ¹ - 3 + 2i Thực hiện quy đồng vế trái của phương trình ta được phương trình z i (2- 3i )z - i - 3 2 - = 0 Û = 0 Û (2- 3i )z - i = 0 Û z = + i (t / m) z2 + 1 iz + 2- 3i (z2 + 1)(iz + 2- 3i ) 13 13 - 3 2 Vậy phương trình có nghiệm là z = + i . 13 13 Trong phương trình b, học sinh hay mắc sai làm khi cho rằng z2 + 1 ¹ 0, " z . Điều này trái ngược hoàn toàn với số thực vì nhớ rằng i 2 = - 1. Dạng 2: Giải phương trình bậc hai trên tập số phức Giải phương trình bậc hai với hệ số thực có dạng az2 bz c 0 (*) (a,b,c Î ¡ , a ¹ 0). * Tính D = b2 - 4ac = d2 , d là 1căn bậc hai của - b ± d * D ¹ 0: pt(*) có hai nghiệm phân biệt z = . 2a b * D = 0: pt(*) có một nghiệm (nghiệm kép) z = - . 2a Chú ý: 1/ Nếu z là nghiệm của pt(*) thì z cũng là nghiệm của pt(*). Như vậy nếu biết được một nghiệm của pt bậc hai có hệ số thực thì ta biết được nghiệm còn lại. Không có trường hợp phương trình bậc hai vô nghiệm. 2/ Nếu z1, z2 là nghiệm của phương trình thì theo Viets ta có b z z 1 2 a c z .z 1 2 a VÍ DỤ 3. Giải phương trình trên tập số phức:z2 - 2z + 5 = 0 . Bài giải 12
13. 2 Ta có: D '= 1- 5 = - 4 = (2i ) Phương trình có hai nghiệm là z1 = 1+ 2i,z2 = 1- 2i . 2 2 2 VÍ DỤ 4. z1, z2 là nghiệm của phương trình 2z - 3z + 5 = 0 . Tính z1 z2 Bài giải 2 9 5 11 Theo Viét ta có z 2 z 2 z z 2z .z 2. . 1 2 1 2 1 2 4 2 4 VÍ DỤ 5. Cho a,b,c là ba số phân biệt khác 0 và a = b = c . Chứng minh rằng nếu một nghiệm của phương trình az2 + bz + c = 0 có môđul bằng 1 thì b2 = ac . Bài giải 2 Giả sử z1,z2 là các nghiệm của phương trình az + bz + c = 0 với z1 = 1. Theo định lý Viét ta có c c 1 c 1 z1z2 = Û z2 = . suy ra z2 = . = 1. a a z1 a z1 b 2 Bởi vì z + z = - , a = b Þ z + z = 1. 1 2 a 1 2 æ1 1 ö Suy ra z + z z + z = 1 Û z + z ç + ÷= 1 ( 1 2)( 1 2) ( 1 2)ç ÷ èçz1 z2 ø 2 2 æ bö c ç ÷ 2 Û (z1 + z2) = z1z2 Û ç- ÷ = Û b = ac.(đpcm). èç aø÷ a Dạng 3: Phương trình quy về bậc hai 2 VÍ DỤ 6. Giải phương trình với z là số phức:(z2 + z) + 4(z2 + z)- 12 = 0 . Phương trình trên là phương trình bậc 4 phải có đủ 4 nghiệm ( Tính cả nghiệm bội ). Trong phương trình có biểu thức z2 + z chung nên ta giải như sau. Bài giải ét = - 6 Đặt t = z2 + z , ta có pt: t 2 + 4t - 12 = 0 Û ê êt = 2 ëê Vậy phương trình đã cho tương tương với: é - 1+ 23i êz = ê1 ê 2 é 2 z + z + 6 = 0 ê - 1- 23i ê Û ê . ê 2 z2 = z + z - 2 = 0 ê 2 ëê ê êz = 1 ê 3 êz = - 2 ë 4 - 1+ 23i - 1- 23i KL: Pt có 4 nghiệm là z = ; z = ;z = 1;z = - 2. 1 2 2 2 3 4 z2 VÍ DỤ 7. Giải phương trình với ẩn z là số phức: z4 - z3 + + z + 1 = 0 . 2 13
14. Bài giải Vì z 0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho, nên ta có 2 1 1 1 æ 1ö æ 1ö 5 z2 - z + + + = 0 Û çz - ÷ - çz - ÷+ = 0. 1 2 ç ÷ ç ÷ ( ) 2 z z èç zø÷ èç zø÷ 2 é 1+ 3i æ ö êt = ç 1÷ 2 5 2 ê 2 Đặt t = çz - ÷, giải pt: t - t + = 0 Û 2t - 2t + 5 = 0 Û ê . èç zø÷ 2 ê 1- 3i êt = ë 2 1+ 3i 1 1+ 3i + Nếu t = , ta có: z - = Û 2z2 - (1+ 3i )z - 2 = 0 (2) 2 z 2 Vì D = 8 + 6i , có căn bậc hai là 3 + i và - 3- i nên é 1+ 3i + 3 + i êz = = 1+ i ê1 (2) Û ê 4 . ê 1+ 3i - 3- i 1 1 êz2 = = - + i ë 4 2 2 é z3 = 1- i 1- 3i 2 ê + Nếu t = , ta có : 2z - (1- 3i )z - 2 = 0 Û ê 1 1 2 êz = - - i ëê 4 2 2 1 1 1 1 Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là z = 1+ i;z = - + i z = 1- i;z = - - i . 1 2 2 2 3 4 2 2 Phương trình trên xuất phát từ phương trình bậc 4 đối xứng hoặc bán đối xứng quen thuộc trong tập số thực dạng ax 4 - bx 3 + cx 2 + bx + a = 0,(a ¹ 0), ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0,(a ¹ 0) Sau đây ta xét một số ví dụ khác được suy ra từ những phương trình thường gặp trong tập số thực như dạng: • Bậc 4 trùng phương. • Dạng (x - a).(x - b).(x - c).(x - d)= e với a + b = c + d . ax 2 + bx + a cx 2 + dx + c • Dạng + = e,a.a ' ¹ 0. a 'x 2 + b'x + a ' c 'x 2 + d 'x + c ' 4 4 • Dạng (x - a) + (x - b) = c • Nhẩm nghiệm sau đó hạ bậc bằng phép chia đa thức hoặc sử dụng lược đồ HoocNe. • Phương trình quy về dạng tích bằng 0. 2z 13z 3 VÍ DỤ 8. Giải phương trình + = 6 . HD: Đặt t = 2z + 2z2 - 5z + 3 2z2 + z + 3 z C. BÀI TẬP NHẬN BIẾT Câu 1. Phương trình nào sau đây là phương trình bậc hai trong tấp số phức với hệ số thực A. x2 x 1 0 . B. x2 ix 1 0. C. x2 x i 0. D. ix2 x 1 0 14
15. Câu 2. Số phức z i là nghiệm của phương trình nào sau đây A. z2 1 0 .B. z2 1 0 . C. z4 1 0 . D. iz2 1 0 . Câu 3. Trong £ , phương trình 2x2 x 1 0 có nghiệm là: 1 1 1 1 A. x 1 7i ; x 1 7i B. x 1 7i ; x 1 7i 1 4 2 4 1 4 2 4 1 1 1 1 C. x 1 7i ; x 1 7i D. x 1 7i ; x 1 7i 1 4 2 4 1 4 2 4 Câu 4. Hai giá trị x1 a bi; x2 a bi là hai nghiệm của phương trình: A. x2 2ax a2 b2 0 B. x2 2ax a2 b2 0 C. x2 2ax a2 b2 0 D. x2 2ax a2 b2 0 Câu 5. Hai giá trị x1 a bi; x2 a bi là hai nghiệm của phương trình: A. x2 2ax a2 b2 0 B. x2 2ax a2 b2 0 C. x2 2ax a2 b2 0 D. x2 2ax a2 b2 0 2 2 2 Câu 6. Biết z1; z2 là hai nghiệm của phương trình 2z 3z 3 0 . Khi đó giá trị của z1 z2 là: 9 9 A. B.9 C. 4 D. 4 4 Câu 7. Phương trình z2 az b 0 có một nghiệm phức là z 1 2i . Tổng 2 số a và b bằng: A. 0 B. 3 C. 3 D. 4 2 2 2 Câu 8. Gọi z1; z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 4z 5 0 . Khi đó phần thực của z1 z2 là: A. 5 B. 6 C. 4 D. 7 Câu 9. Trong £ , nghiệm của phương trình z2 5 12i là: z 2 3i z 2 3i A. B. z 2 3i C. z 2 3i D. z 2 3i z 2 3i THÔNG HIỂU 1 Câu 10. Trong £ , phương trình z 2i có nghiệm là: z A. 1 3 i B. 5 2 i C. 1 2 i D. 2 5 i. H.D : + Đk : z 0 1 2 z 2i z2 2iz i2 2i z i 2i z Câu 11. Trong £ , phương trình z3 1 0 có nghiệm là: 2 i 3 1 i 3 1 i 5 5 i 3 A. 1; B. 1; C. 1; D. 1; 2 2 4 4 Câu 12. Trong £ , phương trình z4 1 0 có nghiệm là: A 1; 2i B. 2; 2i C. 3; 4i D. 1; i Câu 13. Phương trình z3 8 có bao nhiêu nghiệm phức với phần ảo âm? A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 Câu 14. Trong £ , phương trình z4 4 0 có nghiệm là: A. 1 4i ; 1 4i B. 1 2i ; 1 2i C. 1 3i ; 1 3i D. ± 1 i ; 1 i Câu 15. Tập nghiệm trong £ của phương trình z3 z2 z 1 0 là: 15
16. A. i;i;1; 1 B. i;i;1 C. i; 1 D. i;i; 1 6 Câu 16. Cho số phức z thỏa mãn z2 6z 13 0 . Tính z nhỏ nhất z i A. 5. B. 17 .C. 4. D. 3 . Câu 17. Giá trị của các số thực b, c để phương trình z2 bz c 0 nhận số phức z 1 i làm một nghiệm là: b 2 b 2 b 2 b 2 A. B. C. D. c 2 c 2 c 2 c 2 2 Câu 18. Trên tập hợp số phức, phương trình z 7z 15 0 có hai nghiệm z1, z2 . Giá trị biểu thức z1 z2 z1z2 là: A. –7 B. 8 C. 15 D. 22 Câu 19. Tìm số nguyên x, y sao cho số phức z x yi thỏa mãn z3 18 26i x 3 x 3 x 3 x 3 A. B. C. D. y 1 y 1 y 1 y 1 2 Câu 20. Giả sử z1, z2 là hai nghiệm của phương trình z 2z 5 0 và A, B là các điểm biểu diễn của z1, z2 . Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là: A. I 1;1 B. I 1;0 C. I 0;1 D. I 1;0 . VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO Câu 21. Trên tập số phức, cho phương trình sau: z i 4 4z2 0. Có bao nhiêu khảng định đúng trong số các nhận xét sau? 1. Phương trình vô nghiệm trên trường số thực ¡ . 2. Phương trình vô nghiệm trên trường số phức £ . 3. Phương trình không có nghiệm thuộc tập số thực. 4. Phương trình có bốn nghiệm thuộc tập số phức. 5. Phương trình chỉ có hai nghiệm là số phức. 6. Phương trình có hai nghiệm là số thực A. 0B. 1 C. 3 D. 2 Hướng dẫn giải: z i 4 4z2 0 z i 4 4z2 2 z i 2iz z2 1 0 z 1 z 1 2 2 2 z 2i 3 0 z 2 3 i z i 2iz z 4iz 1 0 Do đó phương trình có 2 nghiệm thực và 4 nghiệm phức. Vậy nhận xét 4, 6 đúng. Ta chọn đáp án D. Câu 22. Phương trình z6 9z3 8 0 có bao nhiêu nghiệm trên tập số phức? A. 3 B. 4 C. 2 D. 6 Hướng dẫn giải: Ta có: z6 9z3 8 0 z 1 z 2 z2 z 1 z2 2z 4 0 z 1 z 2 3 z 1 1 i 3 Ta chọn đáp án A. 16
17. 2 Câu 23. Giả sử z1, z2 là hai nghiệm của phương trình z 2z 5 0 và A, B là các điểm biểu diễn của z1, z2 . Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là: A. I 1;1 B. I 1;0 C. I 0;1 D. I 1;0 Hướng dẫn giải: z2 2z 5 0 z 1 2 4 0 z 1 2i A 1;2 ; B 1; 2 Do đó tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là I 1;0 . Ta chọn đáp án A. Câu 24. Cho phương trình z2 mz 6i 0 . Để phương trình có tổng bình phương hai nghiệm bằng 5 thì m có dạng m a bi a,b ¡ . Giá trị a 2b là: A. 0B. 1 C. 2 D. 1 Hướng dẫn giải: Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình đã cho b S z z m 1 2 a Theo Viet, ta có: c P z .z 6i 1 2 a Theo bài cho, tổng bình phương hai nghiệm bằng 5. Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 z1 z2 S 2P m 12i 5 m 5 12i m 3 2i m 3 2i a 3;b 2 a 2b 3 4 1. Ta chọn đáp án A. 4 z 1 Câu 25. Gọi z1, z2 , z2 , z4 là các nghiệm phức của phương trình 1. Giá trị của 2z i 2 2 2 2 P z1 1 z2 1 z3 1 z4 1 là: 17 17 9 17i A. B. C. D. 8 9 17 9 Hướng dẫn giải: z 1 i z 1 1 i 4 1 z i z 1 2z i 3 Với mọi z , ta có: 1 2 2z i z 1 2 4i i z 2z i 5 z 0 2 2 2 1 i 2 4i P z2 1 z2 1 z2 1 z2 1 1 i 1 1 1 1 2 3 4 9 25 9 2i 13 16i 425 17 1 2i . 9 25 9.25 9 Ta chọn đáp án A. Câu 26. Cho phương trình z2 mz 2m 1 0 trong đó m là tham số phức. Giá trị của m để phương 2 2 trình có hai nghiệm z1, z2 thỏa mãn z1 z2 10 là: A. m 2 2 2i B. m 2 2 2i C. m 2 2 2i D. m 2 2 2i Hướng dẫn giải: 17
18. b S z z m 1 2 a Theo Viet, ta có: c P z .z 2m 1 1 2 a 2 2 2 2 2 z1 z2 10 S 2P 10 m 2 2m 1 10 m 4m 12 0 m 2 2 8 0 m 2 2 2i Ta chọn đáp án A. 2 Câu 27. Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình z 2z 8 0 , trong đó z1 có phần ảo dương. Giá trị của số phức w 2z1 z2 z1 là: A.12 6i B. 10C. 8D. 12 6i Hướng dẫn giải: 2 2 z1 1 7i z 2z 8 0 z 1 7 0 z 1 7i z2 1 7i w 2z z z 2 1 7i 1 7i 1 7i 1 7i 1 7i 1 7 8 1 2 1 2 Câu 28. Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình z 2z 6 0. Trong đó z1 có phần ảo âm. Giá trị biểu thức M | z1 | | 3z1 z2 | là: A. 6 2 21 B. 6 2 21 C. 6 4 21 D. 6 4 21 Hướng dẫn giải: z2 2z 6 0 z 1 2 5 0 z 1 5i z1 1 5i; z2 1 5i M | z1 | | 3z1 z2 | 1 5i 2 4 5i 6 84 6 2 21 Ta chọn đáp án A. 2 4 4 Câu 29. Gọi z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình z 3z 7 0 . Khi đó A z1 z2 có giá trị là: A. 23B. 23 C. 13D. 13 Hướng dẫn giải: Theo Viet, ta có: b S z1 z2 3 a 4 4 2 2 2 2 A z1 z2 S 2P 2P 3 2.7 2.49 23 c P z .z 7 1 2 a Ta chọn đáp án A. PHẦN 3: TÌM TẬP HỢP ĐIỂM A. LÝ THUYẾT CƠ BẢN 1. Biểu diễn hình học: Trong mặt phẳng phức Oxy ( Oy là trục ảo; Ox là trục thực), mỗi số phức z a bi;(a;b ¡ ) được biểu diễn bởi điểm M(a;b) 18
19. 2. Tập hợp điểm cơ bản Giả sử số phức z có dạng z = x + yi,(x,y Î ¡ ). Từ giả thiết đề bài ta thiết lập biểu thức giữa x, y. Sau đây là một số biểu thức thường gặp. Biểu thức Đường tương ứng ax + by + c = 0,(a2 + b2 ¹ 0) Đường thẳng y = ax 2 + bx + c,a ¹ 0 Đường parabol ax + b y = ,(ad - bc ¹ 0) Đường hyperbol cx + d 2 2 (x - a) + (y - b) = R2 Đường tròn x 2 y2 + = 1 Elíp. a2 b2 B. VÍ DỤ ĐIỂN HÌNH DẠNG 1. Sử dụng phương pháp đại số VÍ DỤ 1. Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức z thoả mãn a. z - 1+ i = z + 2 b. 2 z - i = z - z + 2i 2 c. z2 - (z) = 4 d. (2- z)(i + z) là số thuần ảo. Bài giải Giả sử z = x + yi (x;y Î ¡ ) và M (x;y) là điểm biểu diễn của z . a. z - 1+ i = z + 2 Û (x - 1)+ (y + 1)i = (x + 2)- yi 2 2 2 Û (x - 1) + (y + 1) = (x + 2) + y2 Û 3x - y + 1 = 0 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số z là một đường thẳng có phương trình là 3x - y + 1 = 0 Mở rộng: khi giả thiết đề bài sửa thành z - 1+ i > z + 2 ta biến đổi được 3x - y + 1 < 0 và kết luận tập hợp các điểm biểu diễn số z là nửa mặt phẳng không chứa gốc tọa độ bờ là đường thẳng 3x - y + 1 = 0. b. 2 z - i = z - z + 2i Û 2 x + (y - 1)i = 2(y + 1)i 19
20. 2 2 2 x Û x 2 + (y - 1) = (y + 1) Û y = 4 x 2 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số z là một parabol có phương trình là y = 4 x 2 Mở rộng: ta sẽ kết luận như thế nào nếu biểu thức lien hệ là y > ? 4 2 1 c. z2 - z = 4 Û ... Û 4xyi = 4 Û y = ± ( ) x 1 1 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số z là hai hyperbol có phương trình y = và y = - . x x d. (2- z)(i + z) = ... = (- x 2 - y2 + 2x + y)+ (2- 2y - x)i là số thuần ảo khi æ ö2 2 ç 1÷ 5 phần thực bằng 0 Û (x - 1) + çy - ÷ = . èç 2ø÷ 4 æ ö2 2 ç 1÷ 5 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số z là một đường tròn có phương trình (x - 1) + çy - ÷ = . èç 2ø÷ 4 æ ö2 2 ç 1÷ 5 Mở rộng: ta kết luận như thế nào nếu hệ thức tìm được là (x - 1) + çy - ÷ < ? èç 2ø÷ 4 DẠNG 2. Phương pháp hình học: Sử dụng các quỹ tích hình học cơ bản Chú ý rằng, mỗi số phức z x yi tương ứng với một điểm M x; y trong mặt phẳng phức Oxy , và ngược lại. Môdul z - zo là khoảng cách giữa hai điểm tương ứng M x; y và M o xo ; yo tương ứng với hai số phức z, zo . Tức là z - zo = MM o Sau đây ta xét một số tập hợp điểm cơ bản trong hình học. Tập hợp số phức z thoả mãn Tên gọi Đường trung trực của đoạn thẳng M1M 2 , với z - z1 = z - z2 M1,M 2 tương ứng là điểm biểu diễn z1, z2 . Đường tròn tâm M o , bán kính R , với M o là z - zo = R,(R > 0) điểm ứng với zo . Elip tâm sai là F1, F2 tương ứng với z1, z2 và z - z1 + z - z2 = 2a > 2c > 0 khoảng cách F1F2 2c . VÍ DỤ 2 Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức z biế a. z - 2 + 3i = z + 1- i b. z + 4 - 2i = 5 c. z - 4 + z + 4 = 10 Bài giải 20