Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 11 - Quan hệ vuông góc trong không gian - Trường THPT Thăng Long

Nội dung text: Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 11 - Quan hệ vuông góc trong không gian - Trường THPT Thăng Long

1. Dự án soạn chuyên đề Chuyên đề: QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN Trường soạn: THPT THĂNG LONG SĐT TTCM: 0904612879 Trường phản biện: THPT VĨNH BẢO SĐT TTCM: Chủ đề 1. GÓC A. Lý thuyết cơ bản 1. Góc giữa hai véc tơ 1.1. Định nghĩa   Cho hai vectơ a và b đều khác vectơ 0 . Từ một điểm O bất kì ta vẽ OA a và OB b . Góc ·AOB với số đo từ 0 đến 180 được gọi là góc giữa hai vectơ a và b . Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ a và b và a,b . Nếu a,b 90 thì ta nói rằng a và b vuông góc với nhau, kí hiệu là a  b hoặc b  a 1.2. Nhận xét Từ định nghĩa ta có a,b b,a . + a,b 0 khi và chỉ khi a và b cùng hướng. + a,b 180 khi và chỉ khi a và b ngược hướng. 2. Góc giữa hai đường thẳng 2.1. Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với a vàb . Chú ý: góc giữa hai đường thẳng luôn là góc nhọn ( hoặc vuông ). 2.2.Phương pháp tính góc giữa hai đường thẳng Phương pháp 1: Sử dụng định lý cosin hoặc tỉ số lượng giác. Phương pháp 2: Sử dụng tích vô hướng: nếu u và v lần lượt là hai vecto chỉ phương (hoặc vecto pháp tuyến ) của hai đường thẳng a vàb thì góc của hai đường thẳng này được xác định bởi công thức: u.v cos cos u,v . u . v 3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 3.1. Định nghĩa Cho đường thẳng d và mặt phẳng . a) Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng thì ta nói góc giữa chúng bằng 90 . b) Nếu đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng thì góc giữa chúng bằng góc giữa đường thẳng d và hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mp .
2. 3.2. Phương pháp xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng cắt nhau Bước 1. Tìm giao điểm O của đường thẳng d và (α) d A Bước 2. Dựng hình chiếu H của một điểm A ∈ d xuống (α) Bước 3 φ · d' H O Góc AOH chính là góc giữa đường thẳng d và (α) α * Với góc vuông: Nếu đường thằng vuông góc với mặt phẳng thì góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là 900. 4. Góc giữa hai mặt phẳng 4.1. Định nghĩa - Góc giữa hai mặt phẳng và  là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. - Nếu hai mặt phẳng đó song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 0o . 4.2. Phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau Phương pháp 1: Dựng hai đường thẳng a , b lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng và  . Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng và  là · ,  a¶,b . Tính góc a¶,b . Phương pháp 2: - Xác định giao tuyến c của hai mặt phẳng và  . - Dựng hai đường thẳng a , b lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến c tại một điểm trên c . Khi đó: · ,  a¶,b . Hay ta xác định mặt phẳng phụ  vuông góc với giao tuyến c mà   a ,    b . Suy ra · ,  a¶,b . Phương pháp 3: (trường hợp đặc biệt) Nếu có một đoạn thẳng nối hai điểm A , B A , B  mà AB   thì qua A hoặc B ta dựng đường thẳng vuông góc với giao tuyến c của hai mặt phẳng tại H . Khi đó · ,  ·AHB .
3. B. Ví dụ điển hình   Ví dụ 1. Cho hình lập phương ABCD.EFGH , hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB, DH ? A. 450 . B. 900 . C. 1200 . D. 600 . Lời giải Đáp án B.     AB; DH DC; DH 900 . Ví dụ 2. Cho hình hộp ABCD.A B CD . Giả sử tam giác AB C, A DC là các tam giác nhọn. Góc giữa hai đường thẳng AC và A D là góc nào sau đây? B. ·AB C . B. D· A C . C. B· B C . D. D· AC . Lời giải Đáp án B. Ta có: AC / / A'C ' ·AC,A'D ·A'C ', A' D D· A'C ' (góc nhọn). Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a ; SA  ABCD và SA a 3 . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SA và SC . Tính góc giữa hai đường thẳng IJ và BD 1 A. 90 . B. 60 . C. arctan . D. 45 . 3 Lời giải Đáp án A.
4. Ta có IJ / / AC, ·IJ, BD ·AOB 900 . Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ; SA  ABCD và SA a 6 . Tính cosin góc tạo bởi SC và mặt phẳng SAB . 1 1 1 3 A. . B. . C. . D. . 3 6 8 7 Lời giải Đáp án C. Ta có: CB  SAB SB là hình chiếu của SC lên mặt phẳng SAB ·SC, SAB ·SC, SB C· SB . Do CSB vuông tại B nên: BC BC a 1 sin C· SB . SC SA2 AC 2 a 8 8 Ví dụ 5. Cho hình lăng trụ đều ABC.A B C có AB 3 và AA 1. Góc tạo bởi giữa đường thẳng AC và ABC bằng A. 60 . B. 30 . C. 75 . D. 45. Lời giải Chọn B Hình chiếu vuông góc của AC lên đáy là ABC là AC , cho nên AC , ABC AC , AC C· AC .
5. CC 1 Trong tam giác vuông ACC ta có: tan C· AC C· AC 300 . AC 3 Ví dụ 6. Cho hình lập phương ABCD.A B C D . Gọi là góc giữa AC và A BCD . Chọn khẳng định đúng: 2 A. 45 . B. 30 . C. tan 2 . D. .tan 3 Lời giải Đáp án C. A'C  AC ' I Gọi C 'D CD' H C 'D  CD' Mà C 'D  (A'BCD') C 'D  A'D' IH là hình chiếu vuông góc của AC' lên A’BCD’ C· 'IH là góc giữa AC' lên A’BCD’ C 'H 1 Mà tanC· 'IH 2 2 IH 2 Ví dụ 7. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm H của cạnh BC . Biết tam giác SBC là tam giác đều. Tính số đo của góc giữa SA và mặt phẳng ABC . A. 30 . B. 45 . C. 60 . D. .75 Lời giải Đáp án C.
6. Do H là hình chiếu của S lên mặt phẳng ABC nên SH  ABC . vậy AH là hình chiếu của SH lên mp A BC SA ; A BC SA ; A H S·A H . Ta có: SH  ABC SH  AH .Mà ABC SBC SH AH . Vậy tam giác SAH vuông cân tại H S·AH 45 . Ví dụ 8. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , SA a và SA  ABC , AB BC a . Tính góc giữa hai mặt phẳng SAC và SBC . A. 45.B. 30 . C. 60 . D. 90 . Lời giải Chọn C. Ta có SAC  SBC SC . Gọi F là trung điểm AC BF  SAC . Dựng BK  SC tại K SC  BKF · SAC , SBC ·KB, KF B· KF a 2 .a FK SA FC.SA a CFK ~ CSA FK 2 . FC SC SC a 3 6 a 2 FB BFK vuông tại F tan B· KF 2 3 B· KF 60 · SAC , SBC . FK a 6
7. Ví dụ 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a ; SA  ABCD và SA a . Tính góc giữa hai mặt phẳng ABCD và SBC ? 2 A. . B. . C. . D. . 4 3 3 6 Lời giải Chọn A Ta có giao tuyến BC  SBA S· BA (góc nhọn). Mà SBA vuông cân tại A nên 450 C. Bài tập Mức nhận biết: Câu 1: Cho hình lập phương ABCD.A B C D . Góc giữa hai đường thẳng AB và A C là A. ·ABC . B. ·A BC . C. B· A C . D. B· AC . Lời giải Chọn D
8. Vì A C //AC nên AB, A C AB, AC B· AC. Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng nhau (tham khảo hình vẽ). Góc giữa hai đường thẳng SB và CD bằng o A. 45. B. 60 . C. 120 . D. 45 . Lời giải Chọn B Vì AB//CD nên SB,CD SB, AB S· BA. Do VSBA đều nên S· BA 60o. Câu 3: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có AB AC AA (tham khảo hình vẽ). Góc giữa hai đường thẳng CC và AB bằng A. 135 . B. 60 . C. 90 . D. 45. Lời giải Chọn C Vì CC //BB nên CC , AB BB , AB B· BA 90o. Câu 4: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có AB AC AA (tham khảo hình vẽ). Góc giữa đường thẳng A C và mặt phẳng ABC bằng
9. A. 135 . B. 60 . C. 90 . D. 45. Lời giải Chọn D Ta có AC là hình chiếu vuông góc của A C trên mặt phẳng ABC nên A C, ABC A C, AC ·A CA. Do VA CA vuông cân tại A nên ·A CA 45o. Câu 5: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A , SA vuông góc với đáy.(tham khảo hình vẽ). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABC là A. C· SA. B. S· CA. C. S· AC . D. S· CB . Lời giải Chọn B Ta có AC là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng ABC nên SC, ABC SC, AC S· CA.
10. Câu 6: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O , SA vuông góc với đáy.(tham khảo hình vẽ). Góc giữa đường thẳng SO và mặt phẳng ABCD là A. S· OA . B. S· AO. C. O· SA. D. S· AC . Lời giải Chọn A Ta có AO là hình chiếu vuông góc của SO trên mặt phẳng ABCD nên SO, ABCD SO, AO S· OA. Câu 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi I là trung điểm của BC . Góc giữa mặt phẳng SBC và mặt phẳng ABC là A. S¶IA. B. S· BA. C. S· CA. D. ·ASB . Lời giải Chọn B
11. ￿ Do AB là hình chiếu của SB trên ABC mà AB  BC SB  BC . SBC  ABC BC ￿ Ta có SB  SBC ;SB  BC AB  ABC ; AB  BC Suy ra góc giữa mặt phẳng SBC và mặt phẳng ABC là ·SB, AB S· BA . Câu 8: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.MNPQ (tham khảo hình vẽ). Góc giữa mặt phẳng CDQP và mặt phẳng ABCD bằng A. 0 . B. 60 . C. 90 . D. 45. Lời giải Chọn C Câu 9: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O , SA vuông góc với đáy.(tham khảo hình vẽ). Góc giữa mặt phẳng SDC và mặt phẳng ABCD là
12. A. S· DA . B. S· AD. C. O· DS . D. S· CA. Lời giải Chọn A ￿ Do AD là hình chiếu của SD trên ABCD mà CD  AD CD  SD . SDC  ABCD CD ￿ Ta có SD  SCD ;SD  CD AD  ABCD ; AD  CD Suy ra góc giữa mặt phẳng SCD và mặt phẳng ABCD là ·SD, AD S· DA . Câu 10: Cho tứ diện đều ABCD , gọi G là trọng tâm của tam giác BCD và M là trung điểm của CD (tham khảo hình vẽ). Góc giữa mặt phẳng ACD và mặt phẳng BCD là A. ·ABG. B. ·AMB . C. ·ACD . D. ·AMC . Lời giải Chọn B
13. Ta có ADC  BCD CD BM  BCD ;BM  CD AM  ADC ; AM  CD Suy ra góc giữa mặt phẳng ACD và mặt phẳng BCD là ·AM , BM ·AMB . Mức thông hiểu: Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA  ABCD . Biết a 6 SA . Tính số đo của góc giữa SC và ABCD . 3 A. 300 . B. 450 . C. 600 . D. 750 . Lời giải Chọn A Ta có ABCD là hình vuông cạnh bằng a nên AC a 2 . Do SA  ABCD AC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng ABCD . SC, ABCD SC, AC S· CA a 6 SA 3 Vậy tan S· CA 3 S· CA 300. AC a 2 3
14. Câu 12. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , BC a 3 , AC 2a .Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a 3 . Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng A. 45. B. 30 . C. 60 . D. 90 . Lời giải Chọn C + Ta có: SB,(ABC) SB, BA S· BA (Vì AB là hình chiếu của SB lên mặt phẳng ABC ) SA + Tính: tan . AB 2 + Tính: AB AC 2 BC 2 2a 2 a 3 a2 a . SA a 3 Suy ra: tan 3 60 . AB a Vậy góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng 60 . Câu 13. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C 'D' (tham khảo hình bên). Tang góc giữa đường thẳng BD’ và mặt phẳng ADD ' A' bằng 3 2 6 2 A. . B. . C. . D. . 3 2 3 6 Lời giải Chọn B. Có: BA  ADD'A' A là hình chiếu vuông góc của A' trên ADD'A'
15. AD' là hình chiếu vuông góc của BD' trên ADD'A' . ·BD', ADD'A' ·BD', AD' B· D'A BA a 2 tanB· D'A . AD' a 2 2 a 2 Câu 14. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a 2 và đường cao SH bằng . Tính góc 2 giữa mặt bên SDC và mặt đáy. A. 30o . B. 90o . C. 60o . D. 45o . Lời giải Chọn D Ta có: SDC  ABCD DC (1) SI  SDC , SI  DC ( SDC cân tại S , I là trung điểm DC ) (2) HI  ABCD , HI  DC (do HDC là tam giác cân tại H ) (3) (1),(2),(3) · SDC , ABCD S· IH . Trong SIH vuông tại H có: a 2 SH tan S· IH 2 1 S· IH 45o . HI a 2 2 Vậy · SDC , ABCD 45o . Câu 15. Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a . Tính côsin của góc giữa mặt bên và mặt đáy. 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 3 2 2 3 Lời giải Chọn A
16. + Gọi O là tâm của hình chóp tứ giác đều S.ABCD . Ta có SO  ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh a và các mặt bên là các tam giác đều cạnh a . + Gọi I là trung điểm cạnh CD . SCD  ABCD CD Theo giả thiết ta có: OI  CD SI  CD nên góc giữa mặt bên SCD và mặt đáy ABCD bằng góc giữa hai đường thẳng OI và SI a OI 1 bằng góc S· IO . Khi đó: cos S· IO 2 cos S· IO . SI a 3 3 2 Câu 16. Cho lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a , tan của góc giữa mặt phẳng (A¢BC) và mặt đáy (ABC) bằng 2 2 3 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 2 2 Lời giải Chọn B
17. a 3 Gọi M là trung điểm của BC , khi đó AM ^ BC và AM = . 2 Ta có BC ^ AM và BC ^ AA¢ nên BC ^ (A¢AM ) . Suy ra BC ^ A¢M . Vì (A¢BC) Ç(ABC) = BC , A¢M ^ BC , AM ^ BC nên góc giữa hai mặt phẳng (A¢BC) và (ABC) là góc giữa A¢M và AM , nghĩa là là góc A¢MA. A¢A a 2 DA¢AM vuông ở A Þ tan ·A¢MA = = = . AM a 3 3 2 Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng ABCD và SA 3a. Gọi là góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABCD . Giá trị tan là 3 6 3 A. 3 . B. . C. . D. . 3 2 2 Lời giải Chọn A Ta có SBC  ABCD BC  · SB  SBC , SB  BC  SBC , ABCD S·B, AB S· BA AB  ABCD , AB  BC
18. SA 3a tan tan S· BA 3 AB a Câu 18. Cho khối chóp S.ABC có SA ABC , tam giác ABC vuông tại B , AC 2a , BC a , SB 2a 3 . Tính góc giữa SA và mặt phẳng SBC . A. 45 . B. 30 . C. 60 . D. 90 . Lời giải Chọn B BC  SA Kẻ AH  SB ( H SB ) (1). Theo giả thiết ta có BC  SAB BC  AH (2) . Từ 1 BC  AB và 2 suy ra, AH  SBC . Do đó góc giữa SA và mặt phẳng SBC bằng góc giữa SA và SH bằng góc ·ASH AB a 3 1 Ta có AB AC 2 BC 2 a 3 . Trong vuông SAB ta có sin ASB . Vậy SB 2a 3 2 ·ASB ·ASH 30 . Do đó góc giữa SA và mặt phẳng SBC bằng 30 . Câu 19. Cho hình hộp ABCD.A B C D có tất cả các cạnh bằng nhau (tham khảo hình vẽ). Góc giữa hai đường thẳng A C và BD bằng A. 90 . B. 30 . C. 45. D. 60 . Lời giải Chọn A
19. Ta có BD // B D nên A C , BD A C , B D . Tứ giác A B C D là hình bình hành có A B B C nên A B C D là hình thoi nên A C  B D hay A C , B D 90 . Vậy A C , BD 90 . Câu 20. Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC . Số đo của góc IJ,CD bằng A. 30 . B. 60 . C. 45. D. 90 . Lời giải Chọn B Ta có IJ // SB (tính chất đường trung bình) và CD // AB (tứ giác ABCD là hình thoi). Suy ra IJ,CD SB, AB S· BA 60 . Chủ đề 2. KHOẢNG CÁCH A. Lý thuyết cơ bản: 1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng 1.1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
20. Cho điểm O và đường thẳng a . Trong mặt phẳng O,a , gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên a . Khi đó khoảng cách giữa hai điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a . 1.2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Cho điểm O và mặt phẳng . Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên mặt phẳng . Khi đó khoảng cách giữa hai điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng . Kí hiệu: d O, . 2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song 2.1. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song Định nghĩa: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng . Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng là khoảng cách từ một điểm bất kì của a đến mặt phẳng , kí hiệu là d a, . 2.2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song Định nghĩa: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song ,  là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. Kí hiệu là d ,  . 3. Đường vuông góc chung và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 3.1. Định nghĩa a) Đường thẳng cắt hai đường thẳng chéo nhau a,b và cùng vuông góc với mỗi đường thẳng ấy được gọi là đường vuông góc chung của a và b .