Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 11 - Dãy số, cấp số - Trường THPT Lê Ích Mộc

Nội dung text: Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 11 - Dãy số, cấp số - Trường THPT Lê Ích Mộc

1. Chuyên đề : dãy số, cấp số Trường soạn: THPT Lê Ích Mộc SĐT TTCM: 0933051562 Trường phản biện: THPT Thăng Long SĐT TTCM: A. Lý thuyết cơ bản : 1. Dãy số: 1.1 Định nghĩa: a) Mỗi hàm số u xác định trên tập số tự nhiên ¥ * được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu: u : ¥ * ¡ n u(n). Dạng khai triển: u1;u2 ;u3;...;un ;... Trong đó ta gọi: u1 là số hạng đầu, un u(n) là số thứ n hay số hạng tổng quát của dãy số. b) Mỗi hàm số u xác định trên tập M 1;2;3;...;m với m ¥ * được gọi là một dãy số hữu hạn. 1.2 Dãy số tăng, dãy số giảm * a) Dãy số (un ) được gọi là tăng nếu un 1 un với mọi n ¥ . * b) Dãy số (un ) được gọi là giảm nếu un 1 un với mọi n ¥ . 1.3.Dãy số bị chặn * a) Dãy số (un ) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho un M ,n ¥ . * b) Dãy số (un ) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho un m,n ¥ . c) Dãy số (un ) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số * m, M sao cho m un M ,n ¥ . 2. Cấp số cộng : 2.1. Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d . Số không đổi d được gọi là công sai của cấp số cộng. Đặc biệt, khi d 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau). Nhận xét: Từ định nghĩa, ta có: 1) Nếu un là một cấp số cộng với công sai d , ta có công thức truy hồi * un 1 un d, n ¥ . 2) Cấp số cộng un là một dãy số tăng khi và chỉ khi công sai d 0 . 3) Cấp số cộng un là một dãy số giảm khi và chỉ khi công sai d 0 . 2.2. Định lý: Định lý 1. (Số hạng tổng quát) Nếu cấp số cộng u có số hạng đầu u và công sai d thì số hạng tổng quát u được xác định bởi n 1 n công thức: un u1 (n 1)d, n 2. Định lý 2. ( Tính chất của CSC) 1
2. Trong một cấp số cộng un , mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là u u u k 1 k 1 Với k 2 . k 2 Định lý 3. (Tổng của n số hạng đầu của một cấp số cộng) Cho một cấp số cộng un . Đặt Sn u1 u2 ... un . Khi đó: n(u u ) n(n 1) S 1 n hoặc S nu d. n 2 n 1 2 3. Cấp số nhân: 3.1 – Định nghĩa Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q. Số q được gọi là công bội của cấp số nhân. * Nếu un là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi: un 1 unq với n ¥ . Đặc biệt: Khi q 0, cấp số nhân có dạng u1 , 0, 0, ..., 0, ... Khi q 1, cấp số nhân có dạng u1 , u1 , u1 , ..., u1 , ... Khi u1 0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0, 0, 0, ..., 0, ... 3.2 – Số hạng tổng quát Định lí 1. Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức n 1 un u1.q với n 2. 3.3 – Tính chất Định lí 2. Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là 2 uk uk 1.uk 1 với k 2. 3.4 – Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân Định lí 3. Cho cấp số nhân un với công bội q 1. Đặt Sn u1 u2 ... un . n u1 1 q Khi đó S . n 1 q Chú ý: Nếu q 1 thì cấp số nhân là u1 , u1 , u1 , ..., u1 , ... khi đó Sn nu1. B. Ví dụ điển hình 1. Dạng 1: Tìm số hạng của dãy số 2n 1 167 Ví dụ 1: Cho dãy số (u ) có số hạng tổng quát u . Số là số hạng thứ mấy? n n n 2 84 A. 300. B. 212.C. 250. D. 249. Lời giải:Chọn C. Cách 1: Giải theo tự luận: 167 2n 1 167 Giả sử u 84(2n 1) 167(n 2) n 250 . n 84 n 2 84 167 Vậy là số hạng thứ 250 của dãy số (u ) . 84 n 2
3. u1 1;u2 2 Ví dụ 2: Cho dãy số (un ) được xác định như sau: . Tìm số hạng u8 . un 2 2un 1 3un 5 A. u8 3050 . B. u8 5003. C. u8 3500 . D. u8 3005. Lời giải.Chọn A. Cách 1: Giải theo tự luận: u3 2u2 3u1 5 12 u4 2u3 3u2 5 35 u5 2u4 3u3 5 111 u6 2u5 3u4 5 332 u7 2u6 3u5 5 1002 u8 2u7 3u6 5 3005 Dạng 2: Xét tính tăng, giảm của dãy số Ví dụ 1: Cho dãy số (un ) biết un 3n 6 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng, không giảm D. Không xác định dãy số Lời giải Chọn A Ta có un 3n 6 un 1 3 n 1 6 3n 9 * Xét hiệuun 1 un 3n 9 3n 6 3 0 n ¥ Vậy (un ) là dãy số tăng n 5 Ví dụ 2: Cho dãy số (u ) biết u . Mệnh đề nào sau đây đúng? n n n 2 A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm n 5 C. Dãy số không tăng, không giảm D. Có số hạng u 1 n 1 n 2 Lời giảiChọn B n 5 3 3 Ta có u 1 u 1 n n 2 n 2 n 1 n 3 3 3 3 Xét hiệu u u 0 n ¥ * Vậy (u ) là dãy số giảm n 1 n n 3 n 2 n 2 n 3 n DẠNG 3 : XÁC ĐỊNH CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN VÀ CÁC YẾU TỐ CỦA CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN Ví dụ 1: Chứng minh rằng dãy số hữu hạn sau là một cấp số cộng: 2,1, 4, 7,10,13,16,19 . Lời giải Vì 19 16 16 13 13 10 10 7 7 4 4 1 1 ( 2) 3 Nên dãy số 2,1, 4, 7,10,13,16,19 là một cấp số cộng với công sai d 3. Ví dụ 2: Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng? Tìm số hạng đầu và công sai. 2 3n a) Dãy số a , với a 4n 3; b) Dãy số b , với b ; n n n n 4 n 2 c) Dãy số cn , với cn 2018 ; d) Dãy số dn , với dn n . Lời giải a) Ta có an 1 4(n 1) 3 4n 1 nên an 1 an (4n 1) (4n 3) 4, n 1. Do đó an là cấp số cộng với số hạng đầu a1 4.1 3 1 và công sai d 4 . 3
4. 2 3(n 1) 1 3n 1 3n 2 3n 3 b) Ta có b nên b b , n 1 n 1 4 4 n 1 n 4 4 4 2 3.1 1 3 Suy ra b là cấp số cộng với số hạng đầu b và công sai d . n 1 4 4 4 n 1 n 1 n n c) Ta có cn 1 2018 nên cn 1 cn 2018 2018 2017.2018 (phụ thuộc vào giá trị của n ). Suy ra cn không phải là một cấp số cộng. 2 2 2 d) Ta có dn 1 (n 1) nên dn 1 dn (n 1) n 2n 1 (phụ thuộc vào giá trị của n ). Suy ra dn không phải là một cấp số cộng. Ví dụ 3: Cho cấp số cộng un có u1 2 và d 5. a) Tìm u20 . b) Số 2018 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng? Lời giải a) Ta có u20 u1 (20 1)d 2 19.( 5) 93. b) Số hạng tổng quát của cấp số cộng là un u1 (n 1)d 7 5n. Vì un 2018 nên 7 5n 2018 n 405. Do n 405 là số nguyên dương nên số 2018 là số hạng thứ 405 của cấp số cộng đã cho Ví dụ 4. Cho cấp số nhân un với công bội q < 0 và u2 4,u4 9 . Tìm u1 . 8 8 A. u . B. u . C. u 6. D. u 6. 1 3 1 3 1 1 Lời giải 2 2 2 u2 4 8 Vì q 0,u2 0 nênu3 0 . Do đó u3 u2 .u4 4.9 6 ; u2 u1.u3 u1 u3 6 3 Chọn đáp án A Ví dụ 5. Cho cấp số nhân un biết u1 u5 51;u2 u6 102 . Hỏi số 12288 là số hạng thứ mấy của cấp số nhân un ? A. Số hạng thứ 10. B. Số hạng thứ 11.C. Số hạng thứ 12. D. Số hạng thứ 13. Lời giải Gọi q là công bội của cấp số nhân đã cho. Theo đề bài, ta có u 1 q4 51 u1 u5 51 1 q 2 u 3 u 3.2n 1 . 4 1 n u2 u6 102 u q 1 q 102 1 n 1 n 1 12 Mặt khác un 12288 3.2 12288 2 2 n 13 . Chọn đáp án D DẠNG 4 : TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN. Ví dụ 1. Tính tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân , biết số hạng đầu bằng 18, số hạng thứ hai bằng 54 và số hạng cuối bằng 39366. A. 19674. B. 59040. C. 177138. D. 6552 Lời giải u1 18,u2 54 q 3. n 1 n 1 n 1 7 un 39366 u1.q 39366 18.3 39366 3 3 n 8 . 4
5. 1 38 Vậy S 18. 59040 . Chọn đáp án B. 8 1 3 Ví dụ 2. Cho cấp số cộng un có u1 2 và d 3. a) Tính tổng của 25 số hạng đầu tiên của cấp số cộng. b) Biết Sn 6095374 , tìm n . Lời giải n(n 1) 3(n2 n) n(3n 7) Ta có S nu d 2n . n 1 2 2 2 25(3.25 7) a) Ta có S 850 . 25 2 n(3n 7) b) Vì S 6095374 nên 6095374 3n2 7n 12190748 0 n 2 Giải phương trình bậc hai trên với n nguyên dương, ta tìm được n 2017. C. Bài tập 1. Bài tập dãy số 2n2 - 1 Câu 1: Cho dãy số (u ), biết u = . Tìm số hạng u . n n n2 + 3 5 1 17 7 71 A. u = . B. u = . C. u = . D. u = . 5 4 5 12 5 4 5 39 n Câu 2: Cho dãy số (un ), biết un = (- 1) .2n. Mệnh đề nào sau đây sai? A. u1 = - 2. B. u2 = 4. C. u3 = - 6. D. u4 = - 8. n n 2 Câu 3: Cho dãy số (u ), biết u = (- 1) . . Tìm số hạng u . n n n 3 8 8 A. u = . B. u = 2. C. u = - 2. D. u = - . 3 3 3 3 3 3 n Câu 4: Cho dãy số (u ), biết u . Chọn đáp án đúng. n n 2n 1 1 1 1 A. u . B. u . C. u . D. u . 4 4 5 16 5 32 3 8 1 Câu 5: Cho dãy số (u ), biết u . Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào dưới n n n 1 đây? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A. ; ; . B. 1; ; . C. ; ; . D. 1; ; . 2 3 4 2 3 2 4 6 3 5 2 Câu 6: Cho dãy số (un ) biết un n 400n . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng, không giảm D. Mọi số hạng đều âm Câu 7: Trong các dãy số u cho bởi số hạng tổng quát u sau, dãy số nào tăng? n n 1 1 n 1 4n 2 A. B.u C. . uD. . u . u . n 3n n 2n 1 n 3n 2 n n 3 5
6. Câu 8: Trong các dãy số un cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào giảm? n 4 n n n A. B.un C. . uD.n 1 5 1 . un 3 . un n 4. 3 2. Bài tập cấp số Mức nhận biết Câu 1. Cho cấp số nhân un với u1 3 và công bội q 2 . Giá trị của u2 bằng 3 A. 8 . B. 9 . C. 6 . D. . 2 Câu 2. Dãy số nào sau đây là một cấp số nhân? A. 2 , 4 , 6 , 8 ,.... B. 2 , 4 , 8 , 16, .... C. 1, 2 , 3 , 4 , .... D. 1, 3 , 5 , 7 , .... Câu 3. Cho cấp số nhân lùi vô hạn un có công bội q . Khi đó tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đó được tính bởi công thức nào sau đây 1 u u u A. S . B. S 1 . C. S 1 . D. S 1 1 q 1 q 1 qn 1 qn Câu 4. Cho cấp số nhân có 10 số hạng với công bội q 0 và u1 0 . Đẳng thức nào sau đây đúng? 6 4 5 7 A. u7 u1.q . B. u7 u1.q . C. u7 u1.q . D. u7 u1.q . Câu 5. Cho cấp số cộng un với u1 9 và công sai d 2 . Giá trị của u2 bằng 9 A. 11. B. . C. 18. D. 7 . 2 Câu 6. Dãy số nào sau đây là cấp số cộng? A. 1; 3; 6; 9; 12.B. 1; 4; 7; 10; 14.C. 1; 2; 4; 8; 16. D. 0; 4; 8; 12; 16. Câu 7. Trong các dãy sau đây, dãy nào là cấp số cộng? n n 1 2 A. un 3 . B. un 3 . C. un 3n 1. D. un 5n n. Câu 8. Cho cấp số nhân un với u1 2 và u2 6 . Công bội của cấp số nhân đã cho bằng 1 A. 3 . B. 4. C. 4 . D. . 3 Câu 9. Cho cấp số cộng un với u1 3; u2 9 . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng A. 6. B. 3. C. 12. D. -6. Câu 10. Cho cấp số cộng un có số hạng đầu u1 11và công sai d 4 . Giá trị của u5 bằng A. 15. B. 27 . C. 26 . D. 2816 . Câu 11. Cho cấp số cộng un với u1 4 và d 8 . Số hạng u20 của cấp số cộng đã cho bằng A. 156 . B. 165 . C. 12. D. 245 . Câu 12. Cho cấp số cộng un với u1 3 và d 3. Tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho bằng 6
7. A. 26 . B. 26 . C. 105 . D. 105. Câu 13. Cho cấp số cộng 2;5;8;11;14... Công sai của cấp số cộng đã cho bằng A. 3 . B. 3. C. 2 . D. 14. Câu 14. Công thức tính số hạng tổng quát của cấp số cộng với công sai d và số hạng đầu u1 là n n 1 n n 1 A. u nu n n 1 d . B. u u n 1 d .C. u u d . D. u nu d . n 1 n 1 n 1 2 n 1 2 Câu 15. Cho cấp số cộng un với u1 5;u2 10 . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng A. 5 . B. 5 . C. 2 . D. 15. Câu 16. Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân? A. 1; 3; 9; 27; 54 . B. 1; 2; 4; 8; 16 . C. 1; 1; 1; 1; 1. D. 1; 2;4; 8;16 . 1 Câu 17. Cho cấp số nhân u với u và công bội q 2 . Giá trị của u bằng n 1 2 10 1 37 A. 28 . B. 29 . C. . D. . 210 2 Câu 18. Cho cấp số nhân un có u1 3, công bội q 2 . Khi đó u5 bằng A. 24 . B. 11. C. 48 . D. 9 . Câu 19. Cho cấp số nhân un với u1 3;u2 1. Công bội của cấp số nhân đã cho bằng 1 A. . B. 2 C. 3 D. 2 3 Câu 20. Cho cấp số nhân un biết u1 2,u2 1. Công bội của cấp số nhân đó là 1 1 A. 2. B. . C. . D. 2 . 2 2 Mức thông hiểu Câu 21. Cho cấp số nhân un với u2 8 và công bội q 3. Số hạng đầu tiên u1 của cấp số nhân đã cho bằng 8 3 A. 24 . B. . C. 5 . D. . 3 8 u 3 u Câu 22. Cho cấp số nhân có 1 , q 2 . Tính 5 A. u5 6. B. u5 5. C. u5 48. D. u5 24. Câu 23. Cho cấp số cộng un với u1 1 và u4 26 . Công sai của un bằng A. 27. B. 9. C. 26. D. 3 26 . Câu 24. Một cấp số nhân có số hạng đầu u1 3, công bội q 2 . Biết Sn 21. Tìm n ? A. n 10 . B. n 3. C. n 7 . D. Không có giá trị của n . Câu 25. Cho cấp số cộng un có u1 1;d 2;Sn 483. Giá trị của n là A. n 20. B. n 21. C. n 22. D. n 23. Câu 26. Cho cấp số cộng un có số hạng đầu u2 2 và u3 5. Giá trị của u5 bằng A. 12. B. 15. C. 11. D. 25 . 7
8. Câu 27. Xác định x để 3 số x 1; 3; x 1 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân: A. x 2 2. B. x 5. C. x 10. D. x 3. Câu 28. Cho cấp số cộng un có số hạng đầu u1 1 và u4 2 . Công sai d bằng A. 3 . B. 3 . C. 5 . D. 2 . n Câu 29. Cho cấp số nhân (un ) biết u1 = 3 . Công bội q bằng 1 A. - 3 . B. . C. ± 3. D. 3 . 3 Câu 30. Cho cấp số cộng un có số hạng đầu u1 3 và công sai d 2 . Tổng của 2019 số hạng đầu bằng A. 4 080 399 . B. 4 800 399 . C. 4 399 080 . D. 8 154 741. Câu 31. Cho dãy số un với un 2n 1 số hạng thứ 2019 của dãy là A. 4039 . B. 4390 . C. 4930 . D. 4093. Câu 32. Cho cấp số nhân un có số hạng đầu u1 2 và công bội q 3. Giá trị u2019 bằng A. 2.32018 . B. 3.22018 . C. 2.32019 . D. 3.22019 . Câu 33. Cho cấp số nhân un có số hạng đầu u1 2 và u6 486 . Công bội q bằng 3 2 A. q 3. B. q 5 . C. q . D. q . 2 3 1 Câu 34. Cho cấp số nhân u với u ; u 16 . Tìm q ? n 1 2 6 33 A. q 2 . B. q 2 . C. q 2 . D. q . 10 Câu 35. Cho cấp số cộng un với u1 2 ; d 9 . Khi đó số 2018 là số hạng thứ mấy trong dãy? A. 226 . B. 225 . C. 223 . D. 224 . u1 1 S10 u1 u2 u3..... u10 Câu 36. Cho cấp số cộng un có và công sai d 2 . Tổng bằng A. S10 110 . B. S10 100 . C. S10 21. D. S10 19 . Câu 37. Cho cấp số nhân un có số hạng đầu u1 2 và u6 486 . Công bội q bằng 3 2 A. q 3. B. q 5 . C. q . D. q . 2 3 Câu 38: Cho cấp số nhân với u1 3,q 2 . Số 192 là số hạng thứ mấy của cấp số nhân? A. u7 B. u6 C. u8 D. Không thuộc cấp số trên Câu 39. Cho cấp số cộng un , với u1 2, u5 14 . Công sai của cấp số cộng là A. 3 . B. 3 . C. 4 . D. 4 . Câu 40:: Cho cấp số nhân un có u3 24 và u4 48 . Tổng năm số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó bằng A. 168B. 186C. – 186 D. 196 Phần có đáp án 1. Bài tập dãy số 8
9. 2n2 - 1 Câu 1: Cho dãy số (u ), biết u = . Tìm số hạng u . n n n2 + 3 5 1 17 7 71 A. u = . B. u = . C. u = . D. u = . 5 4 5 12 5 4 5 39 n Câu 2: Cho dãy số (un ), biết un = (- 1) .2n. Mệnh đề nào sau đây sai? A. u1 = - 2. B. u2 = 4. C. u3 = - 6. D. u4 = - 8. n n 2 Câu 3: Cho dãy số (u ), biết u = (- 1) . . Tìm số hạng u . n n n 3 8 8 A. u = . B. u = 2. C. u = - 2. D. u = - . 3 3 3 3 3 3 n Câu 4: Cho dãy số (u ), biết u . Chọn đáp án đúng. n n 2n 1 1 1 1 A. u . B. u . C. u . D. u . 4 4 5 16 5 32 3 8 1 Câu 5: Cho dãy số (u ), biết u . Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào dưới n n n 1 đây? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A. ; ; . B. 1; ; . C. ; ; . D. 1; ; . 2 3 4 2 3 2 4 6 3 5 2 Câu 6: Cho dãy số (un ) biết un n 400n . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số không tăng, không giảm D. Mọi số hạng đều âm Câu 7: Trong các dãy số u cho bởi số hạng tổng quát u sau, dãy số nào tăng? n n 1 1 n 1 4n 2 A. B.u C. . uD. . u . u . n 3n n 2n 1 n 3n 2 n n 3 Câu 8: Trong các dãy số un cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào giảm? n 4 n n n A. B.un C. . uD.n 1 5 1 . un 3 . un n 4. 3 2. Bài tập cấp số Câu 1: Cho cấp số nhân un với u1 3 và công bội q 2 . Giá trị của u2 bằng 3 A. 8 . B. 9 . C. 6 . D. . 2 Lời giải Chọn C Ta có: u2 u1.q 3.2 6 . Câu 2: Dãy số nào sau đây là một cấp số nhân? A. 2 , 4 , 6 , 8 ,.... B. 2 , 4 , 8 , 16, .... C. 1, 2 , 3 , 4 , .... D. 1, 3 , 5 , 7 , .... Lời giải Chọn B. 9
10. Xét dãy 2 , 4 , 8 , 16, .... u2 u3 u4 Ta có ... 2 . Vậy dãy số 2 , 4 , 8 , 16, ... là một cấp số nhân với u1 2 và công u1 u2 u3 bội q 2 . Câu 3. Cho cấp số nhân lùi vô hạn un có công bội q . Khi đó tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đó được tính bởi công thức nào sau đây 1 u u u A. S . B. S 1 . C. S 1 . D. S 1 1 q 1 q 1 qn 1 qn Câu 4 : Câu 4.Cho cấp số nhân có 10 số hạng với công bội q 0 và u1 0 . Đẳng thức nào sau đây đúng? 6 4 5 7 A. u7 u1.q . B. u7 u1.q . C. u7 u1.q . D. u7 u1.q . Câu 5: Cho cấp số cộng un với u1 9 và công sai d 2 . Giá trị của u2 bằng 9 A. 11. B. . C. 18. D. 7 . 2 Lời giải Chọn A Ta có: u2 u1 d 9 2 11. Câu 6: Dãy số 0; 4; 8; 12; 16 là cấp số cộng có số hạng đầu là u1 0 và công sai d 4. Chọn D Câu 7: Ta có un 3n 1 là một cấp số cộng vì un 1 un 3 n 1 1 3n 1 3. Chọn C Câu 8: Cho cấp số nhân un với u1 2 và u2 6 . Công bội của cấp số nhân đã cho bằng 1 A. 3 . B. 4. C. 4 . D. . 3 Lời giải Chọn A u2 6 Ta có u2 u1.q q 3 . u1 2 Câu 9: Cho cấp số cộng un với u1 3; u2 9 . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng A. 6. B. 3. C. 12. D. -6. Lời giải Chọn A Cấp số cộng un có số hạng tổng quát là: un u1 n 1 d ; (Với u1 là số hạng đầu và d là công sai). Suy ra có: u2 u1 d 9 3 d d 6. Vậy công sai của cấp số cộng đã cho bằng 6. Câu 10: Cho cấp số cộng un có số hạng đầu u1 11và công sai d 4 . Giá trị của u5 bằng 10
11. A. 15. B. 27 . C. 26 . D. 2816 . Lời giải Chọn B u1 11 Ta có : u5 u1 4d 27 . d 4 Câu 11: Cho cấp số cộng un với u1 4 và d 8 . Số hạng u20 của cấp số cộng đã cho bằng A. 156 . B. 165 . C. 12. D. 245 . Lời giải Chọn A Ta có: u20 u1 19d 4 19.8 156 . Câu 12 : Cho cấp số cộng un với u1 3 và d 3. Tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho bằng A. 26 . B. 26 . C. 105 . D. 105. Lời giải Chọn C Ta có: S10 10.u1 45.d 30 45.( 3) 105. Câu 13: Cho cấp số cộng 2;5;8;11;14... Công sai của cấp số cộng đã cho bằng A. 3 . B. 3. C. 2 . D. 14. Lời giải Chọn B Theo định nghĩa ta có d 14 11 11 8 8 5 5 2 3 . Câu 14: Công thức tính số hạng tổng quát của cấp số cộng với công sai d và số hạng đầu u1 là A. un nu1 n n 1 d . B. un u1 n 1 d . n n 1 n n 1 C. u u d . D. u nu d . n 1 2 n 1 2 Lời giải Chọn B Theo định nghĩa ta chọn đáp án un u1 n 1 d . Câu 15: Cho cấp số cộng un với u1 5;u2 10 . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng A. 5 . B. 5 . C. 2 . D. 15. Lời giải Chọn B Cấp số cộng un có số hạng tổng quát là: un u1 n 1 d ; (Với u1 là số hạng đầu và d là công sai). Suy ra có: u2 u1 d 10 5 d d 5 . Vậy công sai của cấp số cộng đã cho bằng 5. Câu 16: Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân? A. 1; 3; 9; 27; 54 . B. 1; 2; 4; 8; 16 . C. 1; 1; 1; 1; 1. D. 1; 2;4; 8;16 . Lời giải Chọn A Dãy 1; 2; 4; 8; 16 là cấp số nhân với công bội q 2 . 11
12. Dãy 1; 1; 1; 1; 1 là cấp số nhân với công bội q 1 . Dãy 1; 2; 4; 8; 16 là cấp số nhân với công bội q 2 . Dãy 1; 3; 9; 27; 54 không phải là cấp số nhân vì 3 1.( 3);( 27).( 3) 81 54 1 Câu 17: Cho cấp số nhân u với u và công bội q 2 . Giá trị của u bằng n 1 2 10 1 37 A. 28 . B. 29 . C. . D. . 210 2 Lời giải Chọn A 1 u1 9 1 9 8 Ta có: 2 u10 u1.q .2 2 . 2 q 2 Câu 18 : Cho cấp số nhân un có u1 3, công bội q 2 . Khi đó u5 bằng A. 24 . B. 11. C. 48 . D. 9 . Lời giải Chọn C n 1 Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: un u1.q . 4 Do đó u5 3.2 48 . Câu 19: Cho cấp số nhân un với u1 3;u2 1. Công bội của cấp số nhân đã cho bằng 1 A. . B. 2 C. 3 D. 2 3 Lời giải Chọn A u2 1 Ta có: u2 u1.q q . u1 3 Câu 20: Cho cấp số nhân un biết u1 2,u2 1. Công bội của cấp số nhân đó là 1 1 A. 2. B. . C. . D. 2 . 2 2 Lời giải Chọn C u2 1 Vì un là cấp số nhân, nên ta có: u2 u1.d d . u1 2 Câu 21: Cho cấp số nhân un với u2 8 và công bội q 3. Số hạng đầu tiên u1 của cấp số nhân đã cho bằng 8 3 A. 24 . B. . C. 5 . D. . 3 8 Lời giải Chọn B 12
13. u 8 Ta có: u u .q u 2 . 2 1 1 q 3 u 3 u Câu 22 : Cho cấp số nhân có 1 , q 2 . Tính 5 A. u5 6. B. u5 5. C. u5 48. D. u5 24. Lời giải Chọn C 4 4 Ta có: u5 u1.q 3 2 48. Câu 23: Cho cấp số cộng un với u1 1 và u4 26 . Công sai của un bằng A. 27. B. 9. C. 26. D. 3 26 . Lời giải Chọn B Ta có u4 u1 3d 3d u4 u1 26 1 27 . 27 d 9. 3 Câu 24: Một cấp số nhân có số hạng đầu u1 3, công bội q 2 . Biết Sn 21. Tìm n ? A. n 10 . B. n 3. C. n 7 . D. Không có giá trị của n . Lời giải Chọn B n n u1 1 q 3. 1 2 Áp dụng công thức của cấp số nhân ta có: S 21 n 3 . n 1 q 1 2 n 2u n 1 d 1 2 n 23 Câu 25: Ta có Sn 2.483 n. 2. 1 n 1 .2 n 2n 483 0 . 2 n 21 Do n ¥ * nên n 23. Chọn D Câu 26: Cho cấp số cộng un có số hạng đầu u2 2 và u3 5. Giá trị của u5 bằng A. 12. B. 15. C. 11. D. 25 . Lời giải Chọn C Ta có: d u3 u2 5 2 3 u4 u3 d 5 3 8 u5 u4 d 11. Câu 27 : Xác định x 0 để 3 số x 1; 3; x 1 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân: A. x 2 2. B. x 5. C. x 10. D. x 3. Lời giải Chọn C Ba số x 1; 3; x 1 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân x 1 x 1 32 x2 10 x 10 Câu 28 : Cho cấp số cộng un có số hạng đầu u1 1 và u4 2 . Công sai d bằng A. 1. B. 3 . C. 5 . D. 2 . Lời giải 13
14. Chọn A Ta có: u4 u1 3d d 1. n Câu 29: Cho cấp số nhân (un ) biết u1 = 3 . Công bội q bằng 1 A. - 3 . B. . C. ± 3. D. 3 . 3 Lời giải Chọn D n+1 un+1 3 q = = n = 3 . un 3 Câu 30: Cho cấp số cộng un có số hạng đầu u1 3 và công sai d 2 . Tổng của 2019 số hạng đầu bằng A. 4 080 399 . B. 4 800 399 . C. 4 399 080 . D. 8 154 741. Lời giải Chọn A Áp dụng công thức tổng n số hạng đầu của cấp số cộng ta có: n u u n n 1 S 1 n nu d 2019.3 2019.2018 4 080 399 . n 2 1 2 Câu 31: Cho dãy số un với un 2n 1 số hạng thứ 2019 của dãy là A. 4039 . B. 4390 . C. 4930 . D. 4093. Lời giải Chọn A Ta có: u2019 2.2019 1 4039 . Câu 32: Cho cấp số nhân un có số hạng đầu u1 2 và công bội q 3. Giá trị u2019 bằng A. 2.32018 . B. 3.22018 . C. 2.32019 . D. 3.22019 . Lời giải Chọn A n 1 2018 Áp dụng công thức của số hạng tổng quát un u1.q 2.3 . Câu 33: Cho cấp số nhân un có số hạng đầu u1 2 và u6 486 . Công bội q bằng 3 2 A. q 3. B. q 5 . C. q . D. q . 2 3 Lời giải Chọn A u 2 u 2 1 1 5 5 q 3 Theo đề ra ta có: 5 q 243 3 . u6 486 486 u1.q 1 Câu 34: Cho cấp số nhân u với u ; u 16 . Tìm q ? n 1 2 6 33 A. q 2 . B. q 2 . C. q 2 . D. q . 10 Lời giải Chọn C Áp dụng công thức số hạng tổng quát cấp số nhân ta có n 1 5 5 un u1q u6 u1.q q 32 q 2 . 14
15. Câu 35: Cho cấp số cộng un với u1 2 ; d 9 . Khi đó số 2018 là số hạng thứ mấy trong dãy? A. 226 . B. 225 . C. 223 . D. 224 . Lời giải Chọn B Ta có: un u1 n 1 d 2018 2 n 1 .9 n 225 . u1 1 S10 u1 u2 u3..... u10 Câu 36: Cho cấp số cộng un có và công sai d 2 . Tổng bằng A. S10 110 . B. S10 100 . C. S10 21. D. S10 19 . Lời giải Chọn B n 2u n 1 d n un u1 1 * Áp dụng công thức Sn ta được: 2 2 10 2 10 1 2 S10 100 . 2 Câu 37: Cho cấp số nhân un có số hạng đầu u1 2 và u6 486 . Công bội q bằng 3 2 A. q 3. B. q 5 . C. q . D. q . 2 3 Lờigiải Chọn A u 2 u 2 1 1 5 5 q 3 Theo đề ta có: 5 q 243 3 . u6 486 486 u1.q n 1 CÂU 38: Số hạng tổng quát của cấp số nhân là un 3. 2 n 1 Ta cần tìm n sao cho un 192 3. 2 192 n 7 Câu 39: Cho cấp số cộng un , với u1 2, u5 14 . Công sai của cấp số cộng là A. 3 . B. 3 . C. 4 . D. 4 . Lời giải Chọn A Gọi cấp số cộng un có công sai d , ta có: u5 u1 4d 4d u5 u1 14 2 12 d 3 . Câu 40: Từ giả thiết u3 24 và u4 48 suy ra q 2 u 24 1 q5 31 Lại có u 3 6 Vậy S u 6. 186 1 q2 4 5 1 1 q 1 =============hết============== 15